昨天看到有人發現π一直到小數點後16位數若是17張麻將牌，恰恰就是可以胡牌的排型（如下圖）。
剛好我上週看了一部法國電影 《瑪格麗特戀習題》(Marguerite’s Theorem)，描述一位原本放棄數學的女研究生，正是從麻將中獲得靈感，讓她重新振作，企圖攻克高懸近三世紀的數學難題——哥德巴赫猜想（Goldbach’s conjecture，也稱為「強哥德巴赫猜想」），也就是「任何一個大於2的偶數都可以寫成兩個質數之和」（例如12 = 5+7；40 = 3+37 或 11+29 、 17+23 ）。
提出此一猜想的哥德巴赫於1690年3月18日出生於普魯士公國的柯尼斯堡（Königsberg，二次大戰後歸蘇聯所有），他曾於1713年赴牛津大學接受牛頓指導，1725年受聘前往俄國新成立的聖彼得堡科學院。同時獲聘的還有後來提出「白努利定律」的白努利（Daniel Bernoulli）及其哥哥，兩年後在白努利的推薦下，年僅20歲的天才數學家歐拉（Leonhard Euler）也來到聖彼得堡科學院。
1728年，彼得二世成為俄國沙皇，立即將哥德巴赫攬為家庭教師，隔年彼得二世把宮廷從聖彼得堡遷往莫斯科，哥德巴赫也隨之前往。從此他開始和留在聖彼得堡的歐拉書信往返討論數學問題，時間長達35年，共有196封信。其中1742年6月7日的這封信中，哥德巴赫寫下一個猜想：
「任何由兩個質數相加而成的整數，都可以寫成任意多的質數加總，直到所有項都是基本單位為止。」
所謂的基本單位是1，這是因為當時1仍被當成質數。他在信中就舉4、5、6為例，例如4 = 1+3 = 1+1+2 = 1+1+1+1。
哥德巴赫似乎是寫完才又突然想到，而在信紙的邊緣處寫下第二個猜想：
「任何一個大於2的整數都可以寫成三個質數之和」。
然後寫說如果這個猜想成立，第一個猜想自然也成立。（現在1不算質數，這個猜想如今便改寫成「任何一個大於5的奇數都可以寫成三個質數之和」，也稱為「弱哥德巴赫猜想」。）
歐拉於6月30日回信給哥德巴赫，提醒他之前曾猜想任何一個大於2的偶數都可以寫成兩個質數之和，還說這如果成立，就會得出他信上的第一個猜想；歐拉接著寫道：你的第二個猜想其實也會隨之成立（也就是只要證明了強哥德巴赫猜想，弱哥德巴赫猜想自然得證）。歐拉最後說自己相信「任何一個大於2的偶數都可以寫成兩個質數之和」是完全確定的定理，雖然他無法證明。
連天才數學家歐拉都做不到，可見要證明看似簡明的哥德巴赫猜想其實非常困難。事實也是如此，之後一百多年無數數學家競相投入，卻絲毫沒有進展，大數學家希爾伯特因此在1900年的國際數學家大會中，將之列為最重要的23個數學問題之一。
這座令人不知從何攀爬的高峰終於在1920年代出現突破口。英國數學家哈代（Godfrey Hardy）和李特伍德（John Littlewood）所發展出在單位圓上做路徑積分的「圓法」，證明了在廣義黎曼猜想成立的前提下，每個足夠大的奇數都能表示為三個質數之和，而幾乎每個足夠大的偶數都能表示成兩個質數之和。祕魯數學家賀夫各特（Harald A. Helfgott）最終在2013年用圓法證明了10的29次方以上的奇數都能寫成三個質數相加，以下的奇數再用電腦一一驗算也都成立。雖然不是純然用數學推導，但弱哥德巴赫猜想總算是證明為真了。
但圓法在強哥德巴赫猜想上始終無法取得更大進展，不過挪威數學家布朗（Viggo Brun）在1920年利用「篩法」，證明任何足夠大的偶數都能拆成兩個不超過9個質數相乘的數字相加，提供了另一條攻克哥德巴赫猜想的路徑。
布朗的成果簡稱為「9+9」，之後三十餘年，許多數學家繼續加以縮減為「7+7」、「6+6」、「5+5」、「4+4」、「3+4」、「3+3」、「2+3」，但這樣相加的兩個數字都不是質數，代表仍有巨大的鴻溝。1962年，28歲的中國數學家潘承洞完成「1+5」的證明，也就是1個質數加上最多由5個質數相乘之數，跨出了一大步。很快地，「1+4」、「1+3」的證明陸續出現；1966年，中國數學家陳景潤又證明了「1+2」，離終點似乎只差一步，但這條路就此卡住，至今仍無法跨越。
《瑪格麗特戀習題》這部電影中，女主角瑪格麗特從麻將牌型是2張和3張的組合，竟悟得證明強哥德巴赫猜想的另一條蹊徑，如此戲劇化的安排不知是否因為麻將是中國國粹，而隱含對陳景潤等人致敬之意？至於瑪格麗特最終是否成功取得聖杯，由於電影仍在上映中，我就先不透露了。
不過值得一提的是，這部電影和麥特·戴蒙和羅賓·威廉斯所主演的《心靈捕手》（Good Will Hunting）有著有趣的對比：這兩部都是虛構的故事，但主角分別為女性與男性，前者從研究生淪為麻將賭徒，後者則是從大學工友成為數學家。後者得力於教授的主動關懷與輔導，但瑪格麗特卻恰恰相反，因為教授不願再指導她而灰心喪志。
以數學家為主角的電影屈指可數，畢竟很多人聽到數學就退避三舍，過去好萊塢拍過幾部真人真事改編的電影，如《天才無限家》(The Man Who Knew Infinity)，描述無師自通的印度傳奇數學家拉馬努金（Srinivasa Ramanujan）之生平；《美麗境界》（A Beautiful Mind），刻劃納許（John Nash）深受思覺失調症之苦；以及《模仿遊戲》（The Imitation Game），揭露圖靈（Alan Turing）在二次大戰期間如何破解德軍的加密系統；都是這些數學家具有可歌可泣的人生經歷，劇中演員也是有相當知名度的好萊塢明星，仍可保證一定的票房。
《瑪格麗特戀習題》既不是好萊塢電影，又充斥許多數學名詞，實在令人佩服片商佳映娛樂敢引進這部小眾電影。有興趣觀看的讀者得把握時間，否則可能很快就看不到了。
參考資料：
