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遇見克萊因瓶

遇見克萊因瓶

遇見克萊因瓶

我在德國狼堡的菲諾科學中心看到很多有趣的裝置,其中有樣東西遠遠地就令我眼睛為之一亮,那是一個大到可以讓人爬進去的克萊因瓶(Kleinsche Flasche)。

克萊因瓶是德國數學家克萊因(Felix Klein)在1882年提出的,在介紹它之前,先從莫比烏斯環(Mobius strip)講起,可能比較容易想像。

用紙帶做成的莫比烏斯環。圖片來源:Wikipedia

將一條細長的紙帶扭轉180 度後,再把首尾兩端黏起來,就是莫比烏斯環。正常紙環用一筆畫只能畫內面或外面一圈,但在莫比烏斯環上卻能一筆畫過紙帶的兩面,因為莫比烏斯環只有一個面,不再有正面、反面的分別。

現在想像一個細長型的花瓶,我們將花瓶的頸部拉長,然後扭轉讓瓶口反向伸進瓶身內部,直到接觸瓶底,這時候再把底部與瓶口相接處鏤空,如此一來就不再有所謂的瓶內、瓶外了。我在菲諾科學中心看到的克萊因瓶便是這樣的架構。

不過,這其實還不算是真正的克萊因瓶。就像二維平面的紙帶要在三維空間扭轉,才能形成莫比烏斯環,三維的花瓶也要在四維空間扭轉,才能形成克萊因瓶。然而身處三維空間的我們無法看見第四度空間,因此真的克萊因瓶並不會完整的呈現在我們眼前,我們只能藉由花瓶模型想像克萊因瓶的真正樣貌。

莫比烏斯環有許多奇特的性質,例如將它沿著中線剪開,並不會如我們直覺以為的:變成兩個原來一半寬度的莫比烏斯環,而是一個長度兩倍、扭轉兩次的紙環。另外,莫比烏斯環上的平面人繞了一圈回到原點時,會發現自己上下顛倒,原本在左邊的心臟變成在右邊(這是概念上的二維平面,請把紙張想像為一個沒有厚度的透明膠帶)。

同樣地,克萊因瓶也有許多奇妙性質,只是牽涉到四個維度,比較難具體描述。不過我們可以從莫比烏斯環衍生出一些想像,例如一個人如果進入延伸到四維空間的克萊因瓶,再回到原點時會變成怎樣?

看著小朋友們在菲諾科學中心的克萊因瓶鑽進鑽出,讓我十分開心,我覺得這種體驗肯定會引發他們的好奇心與想像力,而這不正是科學教育的最大企求嗎?

參考資料:

  1. Möbius strip – Wikipedia
  2. Klein bottle – Wikipedia

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