無限只是一種說法？
自然數與平方數哪個多？兩者都無限多，但以直覺而言，平方數只占自然數的一小部分，顯然自然數大多了。然而每個自然數都可以對應到一個平方數（1➡︎1, 2➡︎2², 3➡︎3², ……），這樣看來，兩者又不分軒輊。
比較自然數與分數的多寡也會遇到同樣的矛盾。無限就是這樣令人困擾，包括無限序列1-1+1-1+……的總和等於0或1、或是1/2？甚至有人證明「所有自然數相加等於-1/12」如此荒謬的結果。
面對這些無解的矛盾，數學家的共識就是：無限只能當作一種概念，一個持續的未完成狀態，所以不能加以計算或比較大小。數學王子高斯就嚴肅表示：「我反對將無限量看成真實的實體來運用，這在數學之中是永遠不被允許的。無限只是一種說法而已。」
無限大就這樣不被繼續深究，直到不信邪的德國數學家康托爾（Georg Cantor）出現，才挑戰長久以來的禁忌，用集合論照出無限大的真正原形。
無限大有大小之分
康托爾1845年出生於俄國聖彼得堡，父親是丹麥人，在他11歲時基於健康考量，舉家遷至較溫暖的德國。康托爾1867年取得博士學位後，循當時慣例先到一所普通的大學任教，希望再以此為墊腳石，進入柏林大學或哥廷根大學擔任教授。
1871年，康托爾開始研究無限，他大學時的老師克羅內克爾（Leopold Kronecker）極力反對，但他仍不改其志。康托爾自1874年起陸續發表多篇論文，他將無限當成可以一一對應其中元素的集合來處理，證明無限大不應一概而論，而是有不同的大小等級之分。
自然數、平方數、整數、有理數的集合都是「可數無限」，屬於最初級（第零級）的無限，它們都一樣大。但實數的集合則是另一種「不可數無限」，因為如下圖所示，假設所有實數都可對應到一個自然數（這裡用二進位表示），那麼我們可以寫出一個實數，它的第一個位數和第一列的第一個位數不同，第二個位數和第二列的第二個位數不同，以此類推，那麼這個實數絕不會和上面的數重覆。用這個「對角論證法」可證明永遠存在自然數對應不到的實數，所以實數的集合大於自然數集合，算是第一級的無限（註）。
不只如此，由於所有子集所形成的集合，一定比原來的集合大，因此還有更大的第二級無限，然後又一級一級地往上沒有止盡。也就是說，無限不但有大小之分，而且等級永無止境；康托爾認為這正可代表上帝的「絕對無限」。
那麼是否存在大小介於第零級與第一級之間的無限？康托爾相信並不存在這樣的無限集合（稱為「連續統假設」），但始終無法證明。
屢受打擊而崩潰的餘生
康托爾以一己之力吹散籠罩千年的迷霧，但當時的學界還是無法認可他的洞見，恩師克羅內克爾更斥之「並無重要意義」、「騙局」。康托爾不但承受極大的壓力，想要進入名校任教的夢想也就此破滅，最終在1884年精神崩潰。雖然他一個月後就康復，卻從此罹患憂鬱症，不時就會陷入沮喪哀傷的狀態，什麼也不能做。
1899年底，康托爾11歲的兒子猝死，對他又是一個打擊。而多年試圖證明連續統假設卻始終未果，也不斷加深他的焦慮，以致每隔幾年他就精神崩潰，必須住院治療。到了第一次世界大戰期間，德國因食物短缺而實施配給，康托爾因此健康更加惡化，終於在1918年1月6日在精神療養院中過世，享年73歲。
如今康托爾的貢獻已獲得普遍認同，他所開創的集合論更成為現代數學的基石；大數學家希爾伯特（David Hilbert）便曾為他捍衛，宣稱：「沒有人能將我們從康托爾為我們創造的樂園中驅除出去」。連續統假設也被希爾伯特列為有待解決的23個最重要數學問題之首，至今仍懸而未決，有待後人征服。
註：康托爾用「對角論證法」證明實數的集合大於自然數集合，後來這個方法分別被哥德爾用來證明不完備定理，以及圖靈用來證明不存在解決停機問題的通用演算法。
參考資料：
- Georg Cantor – Wikipedia
- 《無限大的秘密》，John D. Barrow 著，蔡承志 譯，三研社出版
