Category 科學

賓州大學的數學教授威爾夫（Herbert Wilf）不願浪費時間，他總是等到博士班資格考後，才從中挑選最好的研究生。1971年，他發現第一名的成績竟遙遙領先第二名，立刻迫不及待地去研究生辦公室找這位學生，誓要得此英才。 原來這個研究生是個東方女子。威爾夫開門見山問她對組合數學了解多少？她回說在國立台灣大學時學過一點，但不多。威爾夫隨即拿出一本書給她，要她讀讀拉姆齊定理那章，並約一個星期後討論。拉姆齊定理看似簡明卻又如迷宮般複雜，他每次用來吸引研究生總是能讓他們上鉤。 果然，一週後碰面時威爾夫問她覺得如何，她微笑說挺好的。但威爾夫萬萬沒想到，她接著翻到其中一頁說：這個多色問題我可以證明出範圍更小的界限。威爾夫興奮地要她在黑板寫給他看，他越看越覺不可思議，一個剛接觸拉姆齊定理的研究生，竟然在一週內就獲得重要進展！他忍不住告訴她，她已經完成博士論文的三分之二了。 ****** 金芳蓉於1949年10月9日在高雄出生，中學時就對幾何很有興趣，加上父親告訴她從數學很容易轉到其它領域，但反過來卻不容易，於是便選擇了台大數學系。她1970年畢業後便到賓州大學讀研究所，獲得威爾夫賞識後，自然找他當指導教授，就以拉姆齊定理中的多色問題做為論文題目，於1974年取得博士學位。這一年她也成為人母，生下第一個小孩。 金芳蓉的第一份工作是到貝爾實驗室研究圖論。她的主管波拉克（Henry Pollak）兩年前曾和葛立恆合作，解決分封交換機中標示位址的問題（有了分封交換機，才能實現網際網路）；葛立恆已發表過不少拉姆齊定理的論文，波拉克知道這正是金芳蓉的研究領域，便介紹他們認識。 他們兩人相談甚歡，第二年就共同發表論文，開啟了長期的合作模式，之後共聯手發表了上百篇論文。金芳蓉也因為葛立恆而結識艾狄胥，並獲得「艾狄胥數1」的身分，和這位數學大師一起發表了14篇論文。 1983年，金芳蓉的人生翻至新的篇章。感情上，前一年剛結束婚姻的她，和也曾二度離異的葛立恆結婚，兩人從學術夥伴成了白頭偕老的人生伴侶。工作上，由於貝爾電話公司分拆，她的主管波拉克掌管新成立的貝爾通訊研究公司，特邀她來擔任研發經理。她因此在獨力研究數學之外，還要扮演起管理、溝通的角色，而她的努力也讓她三年後就晉升為部門主管。 金芳蓉在學術研究上從未鬆懈，她曾表示「我不要別人因為我的權位而尊敬我，我寧願憑所做的數學贏得他們的欽佩。」因此她於1990年利用公司給的一年休假到哈佛大學進行研究，返回工作崗位後仍不時到學術機構演講。 1994年，金芳蓉決定揮別待了20年的產業界，專心於學術工作。她辭職後先到普林斯頓高等研究院訪問一年，再回母校賓州大學教書。1995年，她接受加州大學聖地牙哥分校聘任，同時擔任數學教授與電腦科學與工程教授。 對金芳蓉而言，從通訊網路到網際網路，背後的抽象原則都可以用圖論描述、分析。另一方面，為了處理複雜網路，她也從傳統圖論擴及準隨機圖（quasi-random graphs）、極限圖論、譜圖論（spectral graph theory），並在這些領域都做出重要貢獻。除了教學與研究，金芳蓉也在好幾個期刊擔任編輯委員，甚至擔任主編與副主編；此外她還出版了三本著作，對數學與計算機科學的發展又是另一種貢獻。 1998年，她獲選為美國藝術與科學學院院士，2013年與2015年又先後當上美國數學學會（AMS）院士與工業與應用數學學會院士；緊接著在2016年，我國的中央研究院也遴選她為院士。今年4月公布入選的美國國家科學院院士，她也名列其中的九名數學家之一。 在金芳蓉的生長年代，女性要在科學領域出人頭地實屬不易，成為傑出的女性數學家更是難能可貴。今天恰是她的75歲生日，且藉此文向她致敬，並祝她生日快樂！ 參考資料：

1997年初的某一天，一位科學記者來到AT&T實驗室，訪問資訊科學部門主管葛立恆。在記者的探詢下，這位已過花甲之年的數學家挪開角落的彈跳桿與獨輪車，拿出五顆球，坐在辦公椅上將球逐一拋到空中。只見他雙手不斷接住落下的球再往上拋，還不時變換球的運動軌跡，他一邊向記者表示辦公室的天花板不夠高，不然拋接六顆球也沒問題。 哈哈，天花板夠高的話，或許葛立恆還能表演高難度的彈翻床特技體操呢！只是為什麼一個數學家會如此鍾情雜耍特技？ 流轉與翻轉 葛立恆於1935年出生在加州的塔夫特（Taft），這是因附近油田而形成的小城鎮，父親就在油田工作。由於父親常換工作地點，全家也跟著搬遷，以致葛立恆從未在同一所學校待超過一年半；不過從小就展現數學天賦的他，卻也因此常在轉學時跳到更高年級。 15歲時，葛立恆拿到福特基金會的獎學金，高中沒有畢業就直接進入芝加哥大學。他一入學就被雜耍特技的社團吸引，投入練習的時間比讀書還多，很快成為拋接球與彈翻床高手，還被學校派去高中巡迴招生，以示芝加哥大學生活多采多姿。 由於福特基金會的獎學金只給三年，葛立恆無法繼續負擔芝加哥大學學費，便轉到加州大學柏克萊分校的電機系就讀，結果他上了萊默（Derrick H. Lehmer）教授的數論課後，激發起對離散數學的興趣。 一年之後，將滿20歲的葛立恆擔心自己會中籤入伍，索性於1955年主動加入空軍，派駐到阿拉斯加擔任通訊專員；由於值勤時間是在夜間，他還可利用白天到阿拉斯加大學讀物理系。四年之後，葛立恆取得大學文憑，再返回柏克萊讀研究所，指導教授正是萊默教授；為了賺取生活費，他還到馬戲團客串翻跳床表演。1962年，葛立恆取得數學博士學位，隨即到位於紐澤西的貝爾實驗室上班。 摯友與愛妻 1963年，葛立恆到科羅拉多州參加數論研討會，中場休息時，看見已頗有名氣的艾狄胥在打桌球。他停下腳步看了一會兒，艾狄胥突然問他要不要比一場。葛立恆平常就有在打桌球，自忖打敗這個年已半百的老傢伙應易如反掌，便立刻答應，沒想到結果竟被痛宰！葛立恆回家後立刻買了球桌，並加入桌球俱樂部勤加練習、不斷比賽，最後拿到紐澤西州的冠軍；這是他第二個州冠軍頭銜，之前他在柏克萊時，就曾得到加州彈翻床比賽第一名。 葛立恆和艾狄胥不打不相識，自此成為他一生的摯友。艾狄胥長居美國卻沒有自己的家，葛立恆特地在家中為他留個房間，讓他隨時可以來住。艾狄胥不時自掏腰包發獎金給世界各地的數學家，也都是由葛立恆代為打理，久而久之竟成了熟悉各國貨幣匯率的專家。 葛立恆也和艾狄胥一起發表了很多篇論文，其中有項猜測便以他們兩人為名，直到2003年才獲得證明。不過葛立恆最常合作的對象是1974年取得博士學位後，和他成為貝爾實驗室同事的金芳蓉，他們共同發表的論文有上百篇，佔了葛立恆全部論文的四分之一。他們不只是學術上的夥伴，兩人於1983年結婚後，成為白頭偕老的終身伴侶。 都是演算法 他們夫婦倆共同發表的論文以圖論為主，尤其是在「拉姆齊定理」（Ramsey’s theorem，註）方面；其實金芳蓉個人的第一篇論文就是關於拉姆齊定理，而葛立恆則於1971年將拉姆齊定理推及高維空間時，從某個問題得出一個非常非常巨大的「葛立恆數」，曾列入金氏世界紀錄「嚴格數學證明中最大的數」。（葛立恆數大到難以想像；假設每個氫原子可寫進10¹⁰⁰個數字，那麼用填滿整個可觀測宇宙的所有氫原子，也還寫不完葛立恆數，而且還差非常遠。） 葛立恆完全不是那種只埋首於數字的數學家，他積極參與數學推廣與社群活動，曾先後當過美國數學學會（American Mathematical Society）與美國數學協會（Mathematical Association of America）的主席。除了純數學，他對通訊與計算機科學也有所貢獻，不但在AT&T實驗室擔任首席科學家，退休後也成為加州電信與資訊科技研究所的首席科學家。對了，他還跨界到曾於1972年擔任國際雜耍者協會主席。 不過在葛立恆眼中，這三者本質上有共通之處，他曾表示「雜耍基本上是一種基於演算法的活動，需要規劃明確的程序步驟來達成各種表演，這其實是計算機科學和離散數學中非常典型的演算法。」或許是享受雜耍中的數學型態與結構，他始終不斷學習各種雜耍特技。 1996年艾狄胥過世，令葛立恆更深覺人生苦短。他向來訪的記者表示，想在繪圖紙畫上100格*100格、共一萬個格子，每天進辦公室就劃掉一格……。2020年7月6日，葛立恆因肺病過世，享年84歲；如果他真的做了那張表格，大約只剩1,500格沒劃，他應該會滿意自己的精彩一生吧？ 註：拉姆齊定理主要是說任何系統中一定存在某種程度的規律，例如一場宴會如果有6位賓客，其中一定至少有3個人彼此都認識或彼此都不認識；這可以表示成R(3,3)=6。那麼如果要確保4個、5個，或更多人都彼此認識或都不認識，需要有多少賓客呢？ 這種問題沒有公式可以直接算出，只能將賓客當成多邊形的頂點，然後兩點之間都以直線相連，用藍色和紅色分別代表認識或不認識，再判斷是否存在每邊都同色的三角形、四邊形、五邊形、……。 問題是每增加一個頂點，邊長著色的可能變化就會急遽增加，不可能一一檢查。艾狄胥生前曾如此比喻：「如果外星人要求我們算出R(5,5)，否則要摧毀我們，那麼我們應該集結所有電腦與數學家之力，努力算出答案。 但如果他們要求的是R(6,6)，那我們還是攻擊外星人好了。」 參考資料：

前天是一代宗師歐拉的忌日，他是史上最多產的數學家。巧的是，史上發表最多論文的則是今天忌日的艾狄胥（Paul Erdős），他發表的論文數量多達1,525篇。雖然這些並非全部都由他自己獨力完成，但相對而言，他能與511位數學家合作，也代表他所觸及的領域之廣、投入的時間之多，實在無人能及。 艾狄胥於1913年3月26日出生於布達佩斯一個猶太家庭，父母都是高中數學老師。由於兩個姐姐都在他出生那年感染猩紅熱過世，媽媽便讓他在家自學，直到10歲才敢讓他去學校；天生喜歡數字的艾狄胥也樂得可隨時翻閱父母的數學書籍。 艾狄胥4歲就展現的強大心算能力，媽媽會得意地讓他在客人面前表演，迅速心算出客人已經活了多少秒，讓大家嘖嘖稱奇。他17歲考進布達佩斯大學，大二就以比前人更簡明的方法，證明了任何大於1的整數n，在n和2n之間一定至少有一個質數，而名噪一時。1934年念完大學時，也拿到了數學博士學位。 當時匈牙利的右翼政府鼓動反猶運動，艾狄胥便前往英國曼徹斯特大學做了四年博士後研究，接著於1938年轉往嚮往已久的普林斯頓高等研究院。然而他的聘書只有一年，此時匈牙利已由親納粹政權掌控，艾狄胥更不便返國。 第二次世界大戰結束後，艾狄胥終於在1948年返鄉，才知道家人都已死於集中營，只有母親倖存。母親自小對他倍極呵護（一個例子是：艾狄胥直到上大學才會將奶油塗在吐司上），兩人有極深的情感鏈結，他本想陪伴母親，但匈牙利此時改由共產黨執政，更加箝制學術自由，艾狄胥的旅美背景對他尤為不利，他實在難以在國內落地生根，只能頻頻往返歐美，與人合作研究。 孰料隨後美國的麥卡錫主義猖獗，艾狄胥反被懷疑是共產黨同路人，1952年即無法獲得簽證進入美國。往後十年，他大多落腳於以色列，直到1963年才終於獲准重返美國。 他在美國始終沒有自己的家，只有好友葛立恆（Ronald Graham）在家中特地為他留個房間，讓他隨時可以來住。艾狄胥的錢財、論文也都是由葛立恆幫他管理，宛如他的監護人。事實上，艾狄胥身無長物，他都把獲頒的數學獎金再拿來懸賞破解各種數學難題，金額從幾十塊到幾千元不等。其中一個他在1932年提出的「艾狄胥偏移問題」(Erdős discrepancy problem)，於2015年由10歲時曾受他指導的陶哲軒破解，蔚為美談。 艾狄胥總是帶著簡單的行李，從一個校園到另一個校園，從一個朋友家到另一個朋友家，到處發掘有趣的或有待解決的數學問題。大家已有心理準備可能會在好夢正甜時，接到他的電話，告知他第二天要過來，然後花個幾天解決一個數學問題後馬上前往下個地點；正如他常掛在嘴邊的：「每到一處，完成一證。」（Another roof, another proof.） 艾狄胥就這麼輾轉各地，不斷和人合作發表論文，從組合數學、分配理論、集合論、數論、圖論到幾何領域，都做出重要貢獻，包括1948年獨立完成質數定理的初等證明（挪威數學家塞伯格（Atle Selberg）也在那年做出證明，留下孰先孰後的爭議）。 學術界因此還流傳一種「艾狄胥數」，用來表示與艾狄胥的「合作距離」。直接與艾狄胥本人合寫論文的數學家，其艾狄胥數是1；與艾狄胥數是1的數學家合寫論文者，艾狄胥數就是2，以此類推。（霍金和伊隆·馬斯克的艾狄胥數都是4，演員娜塔莉波曼則是5。） 1971年，艾狄胥摯愛的母親過世。失去了情感上唯一聯繫，也是猶如船錨般的精神支柱後，艾狄胥更變本加厲地用數學填滿所有心思，每天工作19個小時。朋友勸他不要這麼拼命，他卻回答：「進墳墓後有的是休息時間。」 1996年9月20日，艾狄胥在華沙的數學研討會上心臟病發而亡，他終於結束漂泊的一生，可以好好休息了。 參考資料：