Category 科學

1783年9月18日，76歲的歐拉（Leonhard Euler）與家人用完午餐後，聖彼得堡科學院的同事來訪，兩人討論起剛發現的天王星及其軌道。歐拉雖已失明多年，卻仍能在想像中的黑板進行計算。突然之間，歐拉倒地不起，幾個小時後因腦溢血不治死亡。 法國數學家與哲學家孔多塞（Marquis de Condorcet）感嘆一代宗師離開人世，寫下著名的悼詞：「他停止了計算與生命」。 是的，直到此刻，這位史上最多產的數學巨擘才停止計算（註）。他一生持續不間斷地以無窮的精力產出數學論文，若集結成冊可達80巨冊，相當於每年可寫出800頁；尤其難能可貴的是，其中有一半是他在1766年近乎全盲後，以驚人的記憶力與心算能力完成的。 [註：雖然後來艾狄胥（Paul Erdős）的論文數量超越歐拉，但其中很多論文都是他與別人合作，因此若論個人的產量，歐拉還是第一。] 歐拉1707年4月15日出生於瑞士，13歲便進入巴塞爾大學就讀，主修哲學與法律。歐拉的父親原本希望他和自己一樣當上牧師，但數學教授老白努利（Johann Bernoulli, 其子就是後來發現白努利定律的丹尼爾·白努利）很快發現歐拉的數學天分，不但利用周末下午予以個別指導，還出面說服其父親不要再逼他當牧師，保證歐拉一定會成為偉大的數學家。 1724年，俄國的彼得大帝成立聖彼得堡科學院，第二年老白努利的兩個兒子即獲邀加入。不料他們抵達聖彼得堡八個月後，老大尼可勞思即病死異鄉；丹尼爾頂上哥哥的職位後，推薦歐拉來接任自己的職缺。於是歐拉在1727年到聖彼得堡任職，一直待到1741年，因俄國政局動盪，而轉往柏林的普魯士科學院。 歐拉的右眼在1738年即因一場高燒而喪失視力，因此他在普魯士科學院還被冠以希臘神話中獨眼巨人（Cyclop）的稱號。在德國待了二十五年後，歐拉的左眼也因白內障逐漸惡化；1766年他獲俄國凱薩琳女皇重金力邀，重返聖彼得堡時已近乎全盲，但這無損於他在已改名的「帝國科學暨藝術學院」繼續發表論文（他口述，由兒子筆記），直到過世為止。 歐拉著作浩瀚，在數學各個領域都留下開創性的巨大貢獻，目前許多常用的數學符號也都是他的傑作，如函數符號f(x)、以e代表自然對數的底、以i代表虛數、以Σ表示加總，就連π代表圓周率也是自他引用之後才普及。 事實上函數的概念就是他率先引進，他還發展出將函數表達為無窮多項之和（也就是冪級數）的方法，擴大了指數函數與對數函數的應用；其中，將指數函數與三角函數聯結的「歐拉公式」： eⁱᵠ = cosφ + i sinφ 更被費曼讚譽為「數學中最卓越不凡的公式」。 歐拉對「柯尼斯堡七橋問題」（相當於一筆畫問題）的分析，以及發現凸多邊形頂點、邊、面三者之間的數量關係（V – E + F = 2），開啟了圖論與拓樸學。 在數論方面，他對質數的見解影響深遠，現在所用的RSA加密演算法，便是奠基於計算互質的歐拉函數；數獨遊戲也是源自他的發明。歐拉對數學的貢獻令後世敬佩不已，大數學家拉普拉斯直言：「讀歐拉的著作吧，他都是我們所有人的大師。」數學王子高斯也說：「研讀歐拉作品永遠是數學各個領域的最佳學習之所，無可取代。」 除了數學，他在流體力學、剛體運動、光學、天文學也都做出重要貢獻。從不同領域都有以歐拉為名的專有名詞，就足以看出其影響力的深度與廣度。 從上述歐拉公式得出的「歐拉恆等式」無疑是最廣為所知、也是公認最優美的數學是。0、1、e、π、i 這五個最基本的數學常數就這麼巧妙地結合在一起，還不可思議地包含了實數、虛數、無理數與超越數，猶如天上最閃亮而神祕的星座，每個看見它的人應該都能感受到其簡潔而神聖之美。 eiπ + 1= 0 最後我想大力推薦小川洋子所寫的《博士熱愛的算式》，這本小說是我至今讀到最感性、最能讓一般人也被數學感動的文學作品。容我引用她透過女主角對歐拉恆等式的形容： 「我看著博士的紙條。永無止境地循環下去的數字，和讓人難以捉摸的虛數畫出簡潔的軌跡，在某一點落地。雖然沒有圓的出現, 但來自宇宙的…

上週日所寫的〈遇見克萊因瓶〉在臉書上有一千多人按讚，看起來很多人對於維度的變化很感興趣。這讓我想起《平面國》（Flatland）這本書，當年我讀這本書真有腦洞大開的感覺，值得大力推薦。 這本書的作者艾德溫·艾波特·艾波特（Edwin Abbott Abbott；沒有筆誤，他姓Abbott，中間名也是 Abbott）於1838年12月20日出生在倫敦，是位具有牧師身分的中學校長。他發表了神學、語言學等多本著作，不過流傳最廣的就是1884年出版的《平面國》。 艾波特設想了平面國度中不同幾何形狀有不同地位，而且有嚴格的教條規範。書裡的主角是正方形，有一天他遇上正在穿過平面的圓球，但因為他沒有高度的概念，所以只會看到球體在平面上的切面，也就是忽大忽小的圓形。 儘管球體費盡口舌解釋，正方形仍無法想像圓球是什麼樣子，直到他被帶到三度空間，才終於理解還有第三次元，並且興奮地推論出一個點往一維移動會變成一條線，再往二維移動會變成正方形，若再向上移動就成為立方體了。於是他興奮地回到原來的平面世界後，呼籲同胞「向上！而非向北」（Upward, not Northward），擺脫一成不變的舊思維。 雖然《平面國》原意是在諷刺英國當時逕渭分明的社會階層與僵化的繁文縟節，結果由於艾波特以生動易懂的類比方式描述高低維度的差異，激發讀者對更高次元的想像，這本書反而成為影響深遠的科普書籍，從中得到靈感的包括數學家、物理學家、作家與藝術家。 以前述正方形為例，向上移動就成為立方體，那麼，立方體往第四次元移動呢？雖然我們無法直接想像超立方體的樣子，但可以用類比的方式思考：既然立方體在二維平面的展開圖是十字架狀的六個正方形，那麼超立方體在我們這個三度空間的展開就應該是由立方體組成的立體十字架（想像十字架狀的平面展開圖向上下移動）。超現實畫家達利那幅基督釘在超立方體上的畫《受難》（Corpus Hypercubus），便是基於這個思路；這也是電影《星際效應》最後，男主角在書架背後的五次元空間所呈現的樣貌。 為了向《平面國》這本書致敬，《星際效應》電影導演諾蘭特地將它放在男主角的書架上。此外，天文學家卡爾·薩根也曾在科普的電視節目中拿它來討論以；物理學家兼科普作家加來道雄在《穿梭超時空》書中除了引述《平面國》的內容，還闡述更多不同維度交會時的神奇例子。 科幻與科普作家艾西莫夫讚譽《平面國》是「如何感受維度概念的最佳入門」。的確如此，如果莫比烏斯環、克萊因瓶讓你對不同維度有興趣，這本書或有助於你跳脫思考框架。 參考資料：