Category 科學

1月7日—「無限猴子定理」是怎麼來的？

你應該聽過「無限猴子定理」：讓無限隻猴子在打字機上隨機按下字母，只要時間夠久，一定能產生任何特定的文句，例如莎士比亞全集。 根據這個定理，看似再不可能的事情，只要機率不是零，都有可能發生。但你知道嗎？這個比喻的原始出處所要表達的完全不是這個意思。 最早提出這個比喻的人，是出生於1871年1月7日的法國數學家博雷爾（Émile Borel）。他在機率、拓樸學、博弈理論等領域都有貢獻，以他為名的專有名詞多達十幾個，不過流傳最廣的反而是無限猴子的比喻。這是他在1913年的文章中提出的，他寫道： 想像有一百萬隻猴子每天打字十個小時，也幾乎不可能打出全世界藏書最豐富的圖書館裡所有的書。不過相較之下，違反統計學法則──那怕只有一瞬間──比這更不可能。 從這段原始出處，可以得知博雷爾並不是真的認為猴子可以打出一本書，而藉此強調統計學法則的必然性。後來英國物理學家艾丁頓爵士（Sir Arthur Eddington）也在1928年借用這個比喻，來強調某些物理現象是不可能發生的。他說： 一整個軍隊的猴子在打字機上亂敲是有可能寫出大英博物館裡所有的書，這件事比一個瓶子中的所有氣體分子同時跑到瓶子另一邊還有可能發生。 從此之後，猴子打字的比喻經過不斷引述而逐漸變形，變成「無限多隻猴子」或是「一隻猴子永無止盡地打字」，「圖書館裡的書」也改為「莎士比亞的作品」；甚至連原意也扭曲了。 無論是博雷爾或艾丁頓，他們其實要強調有些事件就統計上來說，發生的機率雖然並非等於零，但當機率小到微乎其微，以致在足夠長的時間尺度內都還不會實現（別忘了頂多10¹⁰⁶年後宇宙就會走向熱寂，一切灰飛煙滅），那麼我們就可以當它不可能發生。就像艾丁頓所指出的，瓶子裡的空氣分子不可能全部跑到同一邊。 無論如何，如今無限猴子定理已經是「一個定理，各自表述」，有人用來指稱任何事都可能發生，有人則從中找到各種諷刺意味，因此它也常出現在許多作品中。例如科幻經典《銀河便車指南》、卡通影集《辛普森家庭》、電視劇《唐頓莊園》、……等等。也有人在2014年設計了一款闖關遊戲，由數以萬計的網路玩家模擬猴子隨機按鍵。 博雷爾原本設想的是猴子幾乎不可能隨機打出有意義的字句，他絕對沒想對，他這個思想實驗後來竟衍生出截然不同的意義與寓意。 參考資料：

1月4日—首創半導體應用的人

1894年1月1日，發現電磁波的赫茲因感染不治，才36歲就英年早逝。五個月後，英國物理學家洛奇（Oliver Lodge）發表演說向他致敬，除了重新演示電磁波實驗，還做出一項令人驚奇的展示。大家原本以為電磁波的特性既然和光一樣，那麼也會被障礙物阻擋，沒想到洛奇將金屬屑檢波器放在50米外的另一棟建築物內，竟然也能接收到電磁波。 此一消息立刻造成轟動，各路人馬紛紛進行無線電的實驗，包括馬可尼、特斯拉、後來發明AM的范信達，學界中也不乏其人，如拉塞福、俄國物理學家波波夫（Alexander Popov）等。而在遙遠的印度，一位大學教授也自行研發無線電裝置，結果因此首度創造了半導體的實際應用。 發現半導體 玻色（Jagadish Chandra Bose）於1858年11月30日出生於英屬印度的孟加拉管轄區，雖然出身貴族家庭，但父母卻教導他眾生平等，不但讓他和賤民及穆斯林的小孩一起學習、遊玩，還會招待他們在家中吃飯。 玻色大學畢業後，本想和父親一樣進入政府體系，但父親卻堅持他當個只須對自己負責的學者，不要去統管別人，讓他前往英國留學。玻色於1884年自劍橋大學畢業後，隨即返回故鄉的管轄區學院教授物理。他在授課之餘，也埋首於物理實驗，其中一項便是半導體。 半導體是德國物理學家布勞恩（Ferdinand Braun）十年前意外發現的。他用撿流計量測硫化鉛的導電性，沒想到指針竟然動也不動，他試著調換正、負極的接線，結果指針馬上就有反應。向來物質只有絕緣體和導體之分，如今才知竟還有介於兩者之間的半導體！ 玻色循此測試IV族元素的礦石，結果除了單向導電性，還發現非常特殊的現象。一般金屬遵守歐姆定律，也就是電流與電壓成正比，但半導體礦石卻不然，當施予的電壓小於某個臨界值時，電流微乎其微，而一旦超過臨界電壓，電流便突然大幅躍升。 他原本只把這視為奇妙的物理現象，但當他得知洛奇的演示後，立即想到可利用這個特性偵測微弱的無線電波。 礦石檢波器 他將半導體礦石接上電池，施以恰好將達臨界值之前的適當電壓。天線接收到無線電波後產生感應電流，所伴隨的感應電壓加上原來的電壓恰好超過臨界值，電流計就會出現明顯變化。如此半導體礦石便可以做為靈敏的檢波器，在更遠的距離接收到微弱的無線電波。 1895年11月，玻色在市政廳前公開演示，成功無線電波讓穿過副州長的身體、兩道磚牆，傳送到一英哩之外的礦石檢波器。為了加強戲劇效果，他還將檢波器接上繼電器，藉此敲響銅鈴並點燃火藥。 這次演示有許多歷史首創，包括： ——礦石檢波器成為半導體的首度實際應用: ——首度傳送毫米波（馬可尼等人都還是用波長更長的無線電波） ——首創號角天線 ——第一個無線遙控裝置 玻色將論文寄交英國皇家學會，並於第二年受邀前往發表演講。當時馬可尼正在倫敦向英國政府展示無線電報系統，兩人應該有機會當面交換意見，不過顯然馬可尼並未採納玻色的方案，而是藉由提高天線高度來增加傳送距離。 事實上礦石檢波器也不是很靈光，因為裡面的雜質分布並不均勻，得嘗試很多次才能找到「熱點」，稍有晃動改變接觸點，就會失去訊號。玻色也未繼續研發改進，因為他對商業應用完全不感興趣，連專利都沒去申請，只想專心做研究，因此。半導體礦石檢波器重新受到青睞要等到1902年了。 玻色研究所 玻色後來轉而研究光與電磁波對植物的影響，也做出許多重要發現。他還撰寫科幻小說，成為孟加拉科幻小說之父。 1917年，才退休兩年的玻色在加爾各答創辦玻色研究所，親自擔任院長，直到1937年過世為止，一生為教育做出貢獻。之前提過的另兩位也姓玻色的科學家：D. M. 玻色與S. N. 玻色，便都曾受過他的指導；下圖的合照即有他們三人的合影。 1977年的諾貝爾物理學獎得主莫特爵士（Sir Nevill Mott）曾說：「J.C. Bose至少領先他的時代60年。事實上，他已經預見P型和N型半導體的存在。」電機電子工程師學會（IEEE）也自今年2025年起，設立以他為名的獎章，表彰對無線通訊技術有重要貢獻的人。 參考資料：

1月1日—打破物理統計規則的人

1924年，愛因斯坦收到一封來自印度的信，信上寫著： 敬愛的大師， 我冒昧地寄上這篇論文，請您細讀並不吝指教。我很想知道您對這篇論文的看法。……我的德文能力不足以將它翻譯成德文，如果您覺得它還有價值，並能安排發表於物理學刊。……也許您還記得有個加爾各答來的人，請您允許把您的廣義相對論論文翻譯成英文，那就是在下。 您忠實的玻色 寫這封信的人是出生於1894年1月1日的玻色（Satyendra Nath Bose），30歲的他只是個遙遠東方的大學講師，在物理界仍默默無名。他冒然寫信要愛因斯坦這位大師幫忙，是因為他自認隨信附上的這篇論文是個重大發現，怎奈四處投稿卻都被拒絕，不得已才寫信求助於愛因斯坦。 說來好笑，這篇論文其實起因於他自己犯下幼稚的數學錯誤。 1921年，玻色在課堂上向學生介紹量子力學的起源，也就是黑體輻射的實驗結果始終無法用古典物理解釋，直到普朗克提出光量子的概念，才成功解決這個難題。他為學生演示古典統計力學的計算過程時，卻搞錯連國中生都知道的機率觀念。 同時擲兩枚硬幣會有四種結果：正正、正反、反正、反反，機率各是1/4，因此出現一正一反的機率是1/2，但他卻一時糊塗，誤以為機率是1/3。奇妙的是，最後竟然得出和量子力學同樣的結果！ 玻色相信這絕不是巧合，他思考後提出「全同粒子」的嶄新觀念，認為光子是無法區別的，不像硬幣是獨立的不同硬幣，因此兩個光子是「正反」或「反正」也無法區分，應視為一種情況，因此機率是1/3，而非古典統計中的1/2。 玻色寫成論文投到許多期刊，但每個編輯都認為他的機率觀念有問題，他處處碰壁後，不得已只好寫信給愛因斯坦。 愛因斯坦果然與眾不同，一眼看出玻色觀點的重要性，不但親自把論文譯成德文投到《物理學刊》，還特定附上短箋為之背書。愛因斯坦在第二年也寫了一篇論文，將玻色的理論推廣到其它粒子，並預言了「愛因斯坦-玻色凝態」的全新相態（1995年獲得證實），而這種用於量子物理的統計便稱為「玻色-愛因斯坦統計」。 幸虧有愛因斯坦這樣的伯樂，玻色的理論才終於受到各界的重視，並且獲得廣泛的應用。玻色也隨即被擢升為教授，遺憾的是，直到他80歲過世前，始終未能獲得諾貝爾獎。為了紀念他，粒子物理標準模型中符合玻色-愛因斯坦的粒子（也就是負責傳遞作用力的粒子），都被稱為「玻色子」；如此，至少讓後人都無法忽略他對量子力學所作的貢獻。 補充一個軼事： 1927年，義大利政府為紀念伏打逝世一百週年，在科莫（Como）舉辦研討會，普朗克、愛因斯坦、薛丁格、狄拉克、波耳、海森堡、……等當代最著名的物理學家都參加了，玻色原本也在受邀之列，但是他卻沒有出席。 倒不是他有什麼私人因素不克前往，而是大會以為他還在加爾各答大學任教，於是在邀請函的收件人寫「給加爾各答大學的玻色教授」。但是玻色已經去了達卡大學，而加爾各答大學還有一位也姓玻色的教授，結果這位D. M. 玻色就代替好不容易出名的S. N. 玻色，參加了這場眾星雲集的物理大會。 不過D. M. 玻色比S. N. 玻色大8歲，分別在英國皇家科學學院與德國洪堡大學取得學士與博士學位，還曾進入卡文迪許實驗室學習。因此也有人認為他當時的學術聲望應不下於S. N. 玻色，或許邀請函本來就是給他的。 參考資料：

《魷魚遊戲》中的無限遞迴

《魷魚遊戲2》中有這麼一幕：男主角知道三角形圖案的椪糖最簡單，胸有成竹地挑了之後，打開卻發現是極為複雜的三角形圖案。 這個圖案可不是製作單位隨便弄的，而是有所本，稱為「謝爾賓斯基三角形」，由波蘭數學家謝爾賓斯基（Wacław Sierpinski）在1915年所提出。產生這個複雜圖案的規則很簡單： 1. 畫一個正三角形； 2. 將三個邊的中點連起來，便將原來的三角形等分成四個正三角形； 3. 去除中間的三角形，針對其餘三個三角形重複步驟二到三，如此不斷往下。 這種經由簡單的方程式或演算法無限迭代，而不斷產生自我相似性的幾何圖形，便稱為「碎形」（fractal）。以謝爾賓斯基三角形來說，把再小的局部放大，都會和整體一模一樣（註）。 《魷魚遊戲》特地選用謝爾賓斯基三角形這個圖案，讓我不禁懷疑其實是有象徵意義的。還記得我之前寫過《魷魚遊戲》中的樓梯和荷蘭版畫家艾雪的關係嗎？當時我覺得是出自於〈相對論〉（Relativity）這幅版畫，但如今想來，應該是呼應艾雪的另一幅作品〈上下階梯〉（Ascending and Descending）。 〈上下階梯〉是艾雪根據英國數學家潘洛斯（Penrose）父子構想的「潘洛斯階梯」繪製而成。畫中一群僧侶（《魷魚遊戲》中的警衛穿著和他們簡直一模一樣）在構成迴圈的四座樓梯上行走，一隊順時針往上走，另一隊逆時針往下走。雖然他們以為自己不停地往上或往下走，但其實哪裡都到達不了，只是在原地繞圈圈。謝爾賓斯基三角形也是如此，你可以不斷延伸下去，但無論停在何處，都和原來一模一樣。 我認為這就是《魷魚遊戲》這兩個美術設計的背後意涵。就參賽者而言，你以為自己最後可以抵達終點，但其實到不了目的地，永遠困在爾虞我詐的輪迴中。而就魷魚遊戲本身而言，也是沒有終止的一天，因為這一場結束，總會又有另一批參賽者跳進來這個貪婪遊戲，無限延續，不會改變。 我不確定自己有沒有過度解讀，無論如何，可以從《魷魚遊戲》這部全球矚目的節目聯結到背後的數學，不是很有趣嗎？ 註：有些碎形則是每次迭代所產生的圖形乍看相似，但並不完全一樣；其中又以波蘭裔的美國數學家曼德布洛（Benoit Mandelbrot），於1970年代所提出的曼德布洛集合最具代表性。 他將簡單的函數每次迭代所得出的解，對應到複數平面上（橫軸是實數，縱軸是虛數），以電腦繪圖不斷地放大更小的局部，呈現出自我相似卻又略有變化的繁複圖案，令人目眩神迷。 這不僅是數學遊戲而已，曼德布洛指出自然界處處可見碎形，例如地理樣貌、人體血管，甚至人類活動如股市線圖也是一種碎形。為什麼隨機的事件最後竟會累積成似乎存在某種規則的碎形？這過程和混沌系統有高度關聯，如今碎形和混沌理論已被應用於各種領域。

拉塞福從鄉下青年成為一代宗師之路

這次去紐西蘭南島，有個遺憾是未能去拉塞福的出生地明水鎮（Brightwater）朝聖。雖然我們是自己開車，但明水鎮距基督城5個小時車程，和我們的行程完全相反，只能忍痛放棄。 移民之子 現在的我們就覺得偏遠，對十九世紀的拉塞福而言更是如此。他的的父母是來自蘇格蘭的移民，在明水鎮定居後，雖然又搬了幾次家，但都在附近的城鎮，因此拉塞福從小一直在小鎮讀書，直到1890年才到紐西蘭當時的第四大城——基督城，就讀坎特伯利大學（Canterbury College）。 對喜愛科學的拉塞福而言，紐西蘭不僅位在世界的邊緣，更是科學的邊陲地帶，坐困於此絕對無法有所成就。所幸在他大學畢業那年，機會來了。英國皇室有項研究獎助金，這一年首度開放給英國殖民地的學生也能申請，拉塞福憑著自己設計的無線電檢波器入選，於1895年前往劍橋大學的卡文迪許實驗室（Cavendish Laboratory），師從湯姆森（J. J. Thomson），進行為期三年的研究。 劍橋大學的異類 卡文迪許實驗室收的學生向來都是劍橋畢業，拉塞福是第一位非嫡系出身，又來自偏遠的海外殖民地，雖然湯姆森對他刮目相看，但他仍成為大家眼中的異類，總是受到排擠。1896年，馬可尼來英國展示無線電報系統，拉塞福原本引以為傲的檢波器，相較之下簡直有如玩具，他只好黯然放棄，另尋研究題目。 當時物理界正掀起研究陰極射線與X射線的熱潮，這是因為前一年11月，德國物理學家倫琴（Wilhelm Röntgen）在做陰極射線實驗時，意外發現穿透力極強的X射線，他拍下妻子左手的骨骼照片，震驚各界，吸引物理學家紛紛投入研究。法國物理學家貝克勒（Henri Becquerel）便是懷疑燐光礦物也會產生X射線，而於1896年3月初無意發現鈾鹽竟讓未拆封的底片曝光，首度揭露物質竟能自發性地散發出相當高的能量。 湯姆森鼓勵拉塞福研究較少人關注的放射性。與貝克勒同在巴黎的居禮夫婦想找出放射性的來源，拉塞福則著眼於放射性的本質。 1897年，湯姆森對陰極射線施加電場與磁場，從其軌跡發現了電子，拉塞福受此啟發，決定用類似的方法來分析放射線。不過他所拿的三年獎助金在1898年到期，剛好加拿大的麥吉爾大學（McGill University）正在物色物理系主任，在湯姆森的大力推薦下，才27歲的拉塞福竟雀屏中選。 另一個邊陲之地 拉塞福欣喜之餘也感到擔憂，他好不容易從紐西蘭來到英國，如今又要踏上另一個偏遠的殖民地，無法及時獲得最新資訊，又難以和科學社群密切交流（當時尚無越洋電報），怕會落後同儕。 拉塞福一到加拿大，便加緊延續放射性的研究。他將鈾鹽置於正負電極之間，確認鈾鹽的放射線造成空氣游離，產生電流後，將一張約5微米的鋁箔蓋住鈾鹽，電流隨即下降。他再加一張鋁箔，電流又降更多，但超過四張之後，電流即不再往下降，一直到12張鋁箔紙都維持在一個固定的值。 這代表鈾鹽的放射線至少有兩種，一種很容易被擋下來，另一種卻能輕易穿透很多張鋁箔紙；拉塞福把前者稱為α射線，後者稱為β射線，於1899年發表論文。 拉塞福雖然率先揭開放射性的一層面紗，不過貝克勒緊接著在1900年確認β射線就是電子，而在1898年發現釙和鐳兩種新元素的居禮夫婦，更是不斷有新的發現，他們兩人到1902年就發表了32篇放射性方面的論文。這讓身處邊陲的拉塞福更感焦慮，只能加倍努力。 他們會把我們當成煉金術士砍頭的 1901年的某一天，他的研究助理索迪（Frederick Soddy）發現釷元素竟然自發性地蛻變為鐳，不禁興奮地喊道：「拉塞福，這是蛻變（transmutation）！」，努力建立聲譽的拉塞福眉頭一皺，回說：「看在上帝的份上，不要叫它蛻變！他們會把我們當成煉金術士砍頭的。」第二年，他們在論文中謹慎地用「裂解」（disintegration）稱之。 拉塞福繼續揭開放射性一層又一層的面紗。他先於1902年證實α射線是帶正電的粒子，1903年又發現穿透力更強的第三種放射性，把它稱為γ射線。這一年，他的得意門生索迪決定回英國做研究，貝克勒和居禮夫婦獲頒諾貝爾物理學獎，想必讓拉塞福感觸更深。 1906年，拉塞福測量α粒子的電荷與質量比值，發現相當於帶兩個正電荷的氦原子，便推測α粒子就是氦離子（要等到1932年，他的學生查德威克發現中子後，才知道其實是氦原子核）。 重返英國 在加拿大熬了九年，拉塞福終於等到重返英國的機會，曼徹斯特大學於1907年聘請他擔任物理系主任，從此便能在歐洲學術圈內和其他同儕公平競爭。 其實拉塞福在加拿大的諸多發現早已獲得肯定，1908年的諾貝爾化學獎即頒予他，以表彰他對放射性研究的貢獻。（不過他有點不開心，因為他更希望拿到物理學獎。他曾說過：「除了物理，其它科學不過是集郵。」） 後來的事，大家都在課本上讀過了。他於1909年用α粒子轟向金箔，發現原子的質量大多集中於原子核，因而提出電子圍繞著原子核的行星模型，推翻恩師湯姆森的「葡萄乾–布丁模型」。1919年，他接替湯姆森掌管卡文迪許實驗室，完全體現了科學發展中兼具的革命與傳承精神。 1937年，拉塞福在緊急的腸阻塞手術四天後過世，享年僅66歲。他死後葬於西敏寺，與牛頓、達爾文等宗師同享最高榮耀。當然，紐西蘭人更以這位土生土長的科學巨擘為傲，紐西蘭最高面額的百元紙鈔上，便是拉塞福的肖像。 參考資料：