Category 科學

從質數到二進位計算機——萊布尼茲的創見

1676年底，三十而立的萊布尼茲離開待了四年的巴黎，返回德國。在巴黎期間，他已構思出微積分此一全新的數學方法，卻沒有公開對外發表，回國後他仍將之暫擱一旁，反而研究起質數來了。 他先在1678年2月發表一篇論文，指出任何大於5的質數減去1或5，一定能被6整除（這也可以表述成「任何大於3的質數都可以寫成6k ± 1」的形式）。隨後他又試圖證明費馬小定理，這是費馬於1640年提出的猜想： 若p為質數，a是小於p的正整數，則 aᴾ⁻¹- 1一定能被p整除。 （例如 p=7, a=2，則2⁷⁻¹ – 1 = 63 是 7 的倍數。） 倘若這真的成立，便能用來判斷一個數有沒有可能是質數。當萊布尼茲從a=2開始，也就是2ⁿ– 1這種所謂的梅森數（Mersenne number）研究起時，他注意到若是用二進位表示，梅森數依序便是1、11、111、1111、……，完全不用像十進位制那樣計算，就能直接寫出來。 接著他發現二進位也很適合用於表示完美數（perfect number）。如果一個數的真因數加總起來恰好等於它本身，例如6 = 1 + 2 + 3 或 28 = 1 +2 + 4 + 7 + 14，便稱為完美數。而歐幾里得早就證明： 若2ⁿ–…

發現系外行星

浩瀚宇宙中，地球是唯一具有生命的星球嗎？光銀河系內就有一千億到四千億顆恆星，環繞它們的行星中，難道沒有其它生物、甚至不亞於人類的高度文明嗎？要尋找外星生命，得先找到環境條件適合生命發展的行星。 問題是，行星本身不會發光，即使反射來自恆星的光，若非距離地球過於遙遠而無法看見，就是被恆星本身的光芒遮蔽。我們要如何發現太陽系以外的行星？ 徑向速度法 長久以來，天文學家普遍相信我們不可能發現系外行星，不過1995年11月的《自然》期刊上，卻刊登了瑞士日內瓦大學的梅爾（Michel Mayor）與奎洛茲（Didier Queloz）的論文，宣稱他們在50光年外的「飛馬座51」恆星發現一顆行星，並指出其軌道半徑與質量。 他們是怎麼做到的？ 原來行星環繞恆星公轉時，兩者之間的重力作用會使恆星輕微擺動，恆星的徑向速度（接近或遠離地球的速度）也因而有所改變，以致光譜譜綫分別會有藍移和紅移效應，而且是週期性的變化。梅爾和奎洛茲便是藉此得知飛馬座51有顆行星，並推算出該行星的質量大小與軌道半徑，他們兩人也因此獲頒2019年的諾貝爾物理學獎。 不過這個方法無法讓我們對行星有更多瞭解，例如它是像地球這樣有岩石的類地行星嗎？是否有大氣層？大氣組成是什麼？溫度多高？這些都有助於尋找有生命可能的行星。 凌日法 1980年代，任職於NASA的博如基（William Borucki）提出尋找系外行星的另一種方法：凌日法。當系外行星橫過恆星朝著地球這一面時，會擋住一小部分恆星射向地球的光，根據觀測到的亮度減少程度，便能推算該行星的大小。再配合徑向速度法獲知的質量，便可算出其密度，知道它是哪一種行星。 此外，恆星的光穿過行星的大氣層時，大氣層中的元素會各自吸收特定頻率的光，使得觀測到的光譜出現不同暗線，便可以得知行星的大氣成分。 不過凌日法不一定都能用得上，行星軌道相對於地球的觀測角度必須在一定範圍內，才能觀測得到。1999年11月5日，天文學家用徑向速度法判定，飛馬座裡距地球約150光年的恆星HD 209458有一顆行星，質量為木星0.7倍（相當於地球的220倍），並預測這顆編號為HD 209458 b的行星即將橫過恆星與地球之間。 田納西州大學的天文學家亨利（Gregory Henry）得知後隨即進行觀測，果然在11月7日與14日都觀測到HD 209458的亮度下降1.7%，因而算出行星HD 209458 b的體積是木星的2.5倍，因此是個氣態巨行星（又稱類木行星），大氣成分含有氧和碳。 在此同時，哈佛大學的博士生夏博諾（David Charbonneau）也正在撰寫論文，準備發表他在九月就已用凌日法確認了HD 209458 b的一些性質。結果他們兩人的論文同時發表在下個月的天文期刊，這是人類首度掀開系外行星的神秘面紗，同時也為凌日法揭開了序幕。 從那時至今2024年10月為止，恰好滿25年，所發現的系外行星已有5,780顆，其中最近的是4.2光年外的比鄰星b，它所環繞的比鄰星也是離我們最近的恆星。有趣的是，比鄰星b是2016年才發現，但2006年就連載的科幻小說《三體》，已經設想和半人馬座α雙星組成三星系統的比鄰星，存在三體人所居住的行星。 2021年底發射升空的詹姆斯·韋伯太空望遠鏡，主要用途之一就是研究系外行星的大氣層，藉此發現與地球相似的「超級地球」，因為這不但最可能有外星生命，也很可能適合人類居住，且讓我們拭目以待吧。 參考資料：

顯微鏡下，細胞現身

1664年11月3日，29歲的虎克（Robert Hooke）在英國皇家學會向台下的科學家們展示他的畫作；這可不是一般的肖像畫或風景畫，而是人類從未見過、也是肉眼無法辨識的各種微物。 出生於1635年7月18日的虎克自小體弱多病，父親在他13歲那年過世後，他便隻身來到倫敦謀生。虎克先當了一年畫家學徒，才就讀西敏公學，接著在1653年進入牛津大學。兩年後波以耳（Robert Boyle）前往牛津設立實驗室，表現優異的虎克在師長的介紹下，擔任波以耳的助手，協助製作實驗器材；其中他所改良的真空幫浦，讓波以耳得以完成氣體實驗，提出波以耳定律。 雖然名義上是波以耳助手，其實虎克自己就能獨立進行實驗，他於1660年從彈簧實驗發現虎克定律，並早於惠更斯發明鐘錶的擒縱輪與螺旋平衡彈簧。1662年，英國皇家學會獲得英王正式認可後，立即聘請虎克擔任實驗審查的負責人。 儘管這是個勞心勞力的無給職，他仍在工作之餘打造儀器設備、埋首實驗。如今他要在皇家學會發表的畫作，便是他自1663年開始，用親手發明的顯微鏡進行觀察，一筆一畫精細地繪出顯微鏡下的世界：包括跳蚤、蝨子的纖毛畢露、蒼蠅的複眼結構清晰可辨。 另外軟木薄片呈現一堆整齊排列的密集網格，虎克將這小格子稱為「細胞」（cell, 取自拉丁文cella，小房間之意），自此成為生物細胞的名稱。他於1665年出版《微物圖鑑》，集結這些顯微圖像，打開世人的眼界。 或許是因為長期負責實驗審查，一直接觸到各種新發明或新觀念，因而啟發虎克想到許多點子，他就當成是自己的創見，以至於常常指別人的主張或發明，他老早就想過了。牛頓於1672年第一次到皇家學會展示所發明的反射式望遠鏡，虎克就宣稱他以前就曾發明過同樣的東西，兩人因此結下樑子。後來牛頓提交光學論文給英國皇家學會，又被負責審查的虎克大肆批評，從此兩人不但成為死對頭，牛頓也拒絕再發表他的光學研究，直到虎克過世後，才終於出版《光學》巨著，光學發展因此晚了三十年。 虎克一生未娶，晚年因糖尿病不良於行，還雙眼失明，最後於1703年病逝。牛頓也於這一年接任皇家學會會長，他上任後命令取下虎克的肖像。孤家寡人的虎克也未留下任何畫像，至今我們仍不知這位身材矮小的大發明家，究竟長相如何。 按：關於「細胞」一詞，葉綠舒根據德國的彼得斯博士（Winfried S. Peters）的發現指出：「虎克的著作中完全沒有提到修道士或修道院，也沒有使用「cellula」這個拉丁詞彙。事實上，他一開始就用了「cell」這個詞（p.248, 249）」。詳見參考資料之連結。 參考資料：

每個孤獨的梅森質數，都伴隨一個完美的數

質數是孤獨的，它的因數就只有1和它自己，不像6還有2和3，15還有3和5，但質數卻再也沒有其它因數，就像一個沒有任何朋友的小孩，只能抱著1這個布娃娃，自己玩耍。 2p-1這種形式的梅森質數當然也是如此。不過，如果把-1挪個位置，移到指數p的後面，再和自己相乘的話，奇蹟就出現了：2p-1 x (2p-1) 會是個完美的數字（perfect number）。 什麼是完美數（也譯為完全數或完備數）？這是種很特別的自然數，它所有的真因數（即除了自身以外的因數）加起來，恰恰等於它本身。例如6的真因數有1、2、3，而1 + 2 + 3 = 6。 完美數很稀少，比日本壓縮機，比質數還稀少。第二個完美數是28（= 1 + 2 + 4 + 7 + 14），下一個是496，再來是8128，第五個就跳到8位數，到了第十個已經有54位數了。 早在西元前三百年左右，歐幾里得就證明當2p-1是質數時，2p-1 x (2p-1) 一定是完美數，例如前四個梅森質數便分別對應到前四個完美數： P = 2 ➡︎ 21(22-1) = 2 x 3 = 6 P =…

不發一語卻滿堂喝采的數學演講

上一篇〈追尋更大的質數〉提到法國神父梅森在1644年提出一系列質數，認為將它們代入Mₚ = 2ᵖ-1，所得出的答案也是質數，結果其中有些數字他搞錯了，例如1876年法國數學家盧卡斯便證明了M₆₇不是質數。 既然M₆₇是合數，那麼它的因數是什麼？盧卡斯並沒有找出來，畢竟要靠紙筆做21位數的因數分解實在太耗費時間了。 1903年10月31日，美國數學學會舉辦的研討會中，有一場是由42歲的美國數學家寇爾（Frank N. Cole）主講。寇爾20年前曾赴德國，接受著名的數學家克萊茵（Felix Klein）指導，返美後先後在哈佛大學、密西根大學、哥倫比亞大學任教，自1896年起還兼任美國數學學會秘書長。 這場演講的主持人簡單說完引言，介紹寇爾上台後，只見他走到黑板的一邊，什麼都沒說就拿起粉筆，逐步計算2⁶⁷-1的值，最後得出： 147 573 952 589 676 412 927 接著他走到黑板另一邊，寫上： 193 707 721 x 761 838 257 287 = 然後算起這兩個數字的相乘，結果等於： 147 573 952 589 676 412 927 正是黑板左邊的數字。 寇爾寫完後仍一句話都沒說，放下粉筆就回到自己的座位。台下聽眾隨即爆出熱烈掌聲，並紛紛起立致意，因為他們終於目睹了M₆₇的因數，而這成果背後不知要投入多少心血。 的確，後來寇爾表示共花了他三年的每個星期天。而這場史無前例、全程近一小時完全不發一語的「演講」，也成為數學史上的一個傳奇。 參考資料：