3月11日—推動現代科技產業的人
凡納爾·布許（Vannevar Bush）？相信即使是科技產業的圈內人，大多也都對於這個名字感到陌生。其實他對現代科技的發展至關重要，無論是電腦、網際網路、人機介面與多媒體應用，倘若一路回溯過往歷史，最終都會發現他的身影。
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11月16日—真空管問世120週年
真空管？現在除了所謂「發燒級」音響，日常生活中幾乎看不見真空管了吧。沒錯，現今的電子產品幾乎已全面改用電晶體，不過在電晶體出現之前，收音機、電視、雷達、……等電子產品就已紛紛問世，這都是拜真空管發明之賜。 真空管開啟了電子化的時代，若要標誌一個起點，或許是1904年11月16日。這一天，英國物理學家弗萊明（John A. Fleming）正式申請真空管的發明專利。 弗萊明攝於1906年。圖片來源：Wikipedia 弗萊明於1849年11月29日出生，學業成績自小就一直名列前茅，還曾自己動手打造模型船、引擎與相機。但他念完大學後，由於家裡的經濟狀況不允許，只能階段性地半工半讀，直到31歲才取得博士學位。 弗萊明教了兩年書後，自1882年開始兼職擔任愛迪生英國分公司的顧問。1884年，他回母校創立英國第一個電機系；為了幫助學生記住電流方向、磁場方向、導體的運動方向三者之間的關係，他特別提出「左手法則」與「右手法則」，流傳至今。 弗萊明右手定則。圖片來源：Wikipedia 1898年，馬可尼委託弗萊明協助克服無線電的瓶頸。馬可尼雖然已經展示了無線電電報的可行性，卻始終無法傳到更遠的距離。弗萊明設計出結合高功率交流發電機的發射器，讓馬可尼於1901年底，成功從英國傳送無線電到美國，創下越洋無線電報的里程碑。 不過無線電信號在這麼遠的距離卻很不穩定，仍無法商業化。弗萊明在思考如何解決時，想起愛迪生曾在1883年發現的「愛迪生效應」。當時愛迪生為了查明燈泡的燈絲為什麼老是在正極端燒斷，而在燈泡中多加一片獨立的金屬片，然後在金屬片與電源正極間接上電流計。沒想到點亮燈泡後，電流計的指針竟會移動，問題是金屬片與燈絲根本沒有接觸，電流從何而來？ 愛迪生那時無法理解，也未再深究；這也難怪，畢竟要到1897年，湯姆森才發現電子。如今弗萊明已經知道是熾熱的燈絲使得電子游離，「跳躍」到正極的金屬片，才產生電流。 於是他根據此一原理，提高燈泡的真空程度，用金屬片包圍住燈絲，並施予金屬片較高的正極電壓。然後將這個真空管接上接收無線的天線，無線電波所產生的感應電流只會流向同一方向，達到整流的效果，便能用高頻無線電波將電報傳送到更遠的距離。（註） 二極真空管示意圖。圖片來源：Wikipedia 弗萊明所發明的真空管是二極管。1906年，美國工程師德佛瑞斯特（Lee De Forest）在二極管的燈絲與金屬片之間多加一個網狀的柵極，接上負電壓，就可調整電流的大小，成為可放大訊號的三極管。自此，真空管便成為電子產品的基本元件，除了前述的電子產品，也讓電腦得以邁入數位化；史上第一台可程式化的通用型電腦ENIAC 便用了一萬七千多個真空管。 雖然真空管因為耗電、易壞，反應速度又慢，而逐漸被電晶體取代，不過它揭開了數位時代的序幕，也算是功成身退，值得紀念。 註：不過真空管本身的物理限制還是不適用更高頻的電波，AT&T旗下的貝爾實驗室因此才改從半導體著手，進而發明電晶體。這段歷史可參考筆者所著之《蕭克利與八叛徒》。 參考資料： John Ambrose Fleming – Wikipedia John Fleming – ETHW
從質數到二進位計算機——萊布尼茲的創見
1676年底，三十而立的萊布尼茲離開待了四年的巴黎，返回德國。在巴黎期間，他已構思出微積分此一全新的數學方法，卻沒有公開對外發表，回國後他仍將之暫擱一旁，反而研究起質數來了。 他先在1678年2月發表一篇論文，指出任何大於5的質數減去1或5，一定能被6整除（這也可以表述成「任何大於3的質數都可以寫成6k ± 1」的形式）。隨後他又試圖證明費馬小定理，這是費馬於1640年提出的猜想： 若p為質數，a是小於p的正整數，則 aᴾ⁻¹- 1一定能被p整除。 （例如 p=7, a=2，則2⁷⁻¹ – 1 = 63 是 7 的倍數。） 倘若這真的成立，便能用來判斷一個數有沒有可能是質數。當萊布尼茲從a=2開始，也就是2ⁿ– 1這種所謂的梅森數（Mersenne number）研究起時，他注意到若是用二進位表示，梅森數依序便是1、11、111、1111、……，完全不用像十進位制那樣計算，就能直接寫出來。 接著他發現二進位也很適合用於表示完美數（perfect number）。如果一個數的真因數加總起來恰好等於它本身，例如6 = 1 + 2 + 3 或 28 = 1 +2 + 4 + 7 + 14，便稱為完美數。而歐幾里得早就證明： 若2ⁿ–…
追尋更大的質數
很多人應該知道幾天前這則新聞了：一位前NVIDIA工程師發現迄今所知最大質數： 2136279841-1 它共有41,024,320 位數，如果比照之前有本印出π的前100萬位數的書，每頁1萬個數字的話，那麼這個質數可以印成41冊。 前一個最大質數是2018年發現的282589933-1，「只能」印成25冊，再前一個則是2017年發現的277232917-1，兩者相差160萬位數，這次一下子多了1,600萬位數，無疑是很大的躍進。 梅森質數 你或許有注意到這幾個質數都是2n-1的形式（而且n都是質數），難道質數都長這樣嗎？當然不是，不過目前所發現特別大的質數，很多都是如此。這最早是17世紀的法國神父梅森（Marin Mersenne）所提出，因此2p-1（p代表質數）這種形式的質數便稱為「梅森質數」。他在1644年列出下列幾個數字： 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 認為將它們代入Mp = 2p-1，得出的都會是質數（M2=3, M3=7, M5=31,……）。 當時只知道到19都是質數無誤，但31之後就是梅森自己的猜測了，結果直到1772年，大數學家歐拉才證明M31是質數，然後再過一百年，M127才被證明是質數。至於M67和M257，梅森猜錯了，它們並非質數，另一方面，他反而漏掉了61, 89, 107這幾個會得出梅森質數的數字。 當數字越來越大時，要驗證是否為質數就是這麼困難，尤其是在只能用紙筆計算的年代。法國數學家盧卡斯（Édouard Lucas）於1857年，以15歲之齡發明一種較快速的檢驗法，不需一一試除質因數，仍然花了19年的時間才證明有39位數的M127是質數。若繼續靠人工計算，可能窮極一生也找不到更大的質數，想要再有所突破，只能等待電腦出現了。 電腦驗算 二次大戰後，英美紛紛開發基於馮紐曼架構的可程式化數位電腦，英國曼徹斯特大學的「曼徹斯特一號」也是其中之一。負責開發測試程式的圖靈便在1949年中寫了一支程式，用來逐一驗算梅森質數，不過受限於曼徹斯特一號的硬體規格，在發現更大的質數之前便終止測試了。 雖然圖靈的程式未發現新的質數，卻從此開啟了用電腦尋找質數的時代。1951年，劍橋大學用EDSAC電腦發現180×(M127)2+1 也是質數。第二年，美國數學家羅賓遜（Raphael Robinson）用國家標準局的電腦，在一年內就發現五個梅森質數：M521、M607、M1279、M2203、M2281，並證明到22303-1為止，再無其它梅森質數。 隨著電腦運算能力的提升，更多質數陸續被找到，但隨著數字越來越大，質數也越來越稀少，到了1994年，也不過又多發現17個更大的質數（其中16個是梅森質數）。有鑒於此，美國電腦科學家沃特曼（George Woltman）於1996年初發起「網際網路梅森質數大搜尋」（Great Internet Mersenne Prime Search，簡稱GIMPS）計畫，讓有興趣的人下載程式到個人電腦，集群體之力一起驗算梅森質數。…
諾貝爾獎最接近數學的一次？
剛剛公布的諾貝爾物理學獎頒給普林斯頓大學的霍普菲爾德（John J. Hopfield）和多倫多大學的辛頓（Geoffrey E. Hinton），以表彰他們「基礎性的發現與發明，使得機器學習得以藉由人工神經網路獲得實現」。 這並非諾貝爾物理學獎第一次頒給與電腦有關的發現或發明。例如： 1956年的三位得獎者是因為對於「半導體的研究及發現電晶體的效應」。 1973年頒給兩位分別發現「半導體和超導體上的穿隧現象」，以及另一位提出「理論預測通過位能障壁之超電流（supercurrent）的性質，特別是被稱為『約瑟夫森效應』的現象」。 2000年的三位得獎者分別「發展出用於高速和光電子學的半導體異質結構」以及「發明積體電路」。 2007年的三位得獎者是因為「發現巨磁阻效應」。IBM因此才發明硬碟，大幅提高電腦的貯存容量。 2009年的三位得獎者則是「讓光纖用於光通訊取得突破性成就」，以及「發明成像半導體電路——CCD感光元件」。 若以對人類的貢獻而言，霍普菲爾德和辛頓這次獎倒也實至名歸，畢竟近年來人工智慧突飛猛進，在材料、生物、製藥、……等各種領域都讓科學家獲得突破性的發展。只不過之前得獎者的發現或發明都與物理原理有關，而且也是實體的，但類神經網路與機器學習似乎無關乎物理學，又是屬於軟體或演算法的範疇，真要說，跟數學還比較有關係。 然而諾貝爾獎的獎項不包括數學。這次物理學獎頒給他們兩人，應該是諾貝爾獎最接近數學的一次吧？ 按：其實諾貝爾經濟學獎已經頒給好幾位數學家，例如在賽局理論提出納許均衡的納許（John Forbes Nash Jr.）。不過諾貝爾的遺囑原本並未設立經濟學獎，是1968年瑞典中央銀行為紀念諾貝爾而增設，因此正式名稱為「瑞典中央銀行紀念阿爾弗雷德·諾貝爾經濟學獎」，有些人就反對將它通稱為諾貝爾經濟學獎。 補充說明： 根據諾貝爾獎官方新聞稿，還是跟物理學有關係的^^。 原來物理學中可用原子自旋來描述某個材料的特性，霍普菲爾德便將之用於描述整體的神經網路（圖像中的畫素或是文句中的字母相當於網路中的節點，節點之間的連結代表它們彼此的關聯性）。就如自旋系統具有能量數值，他也賦予不同節點之間的連結不同數值，經由不斷反饋來尋找能量最低的路徑，便可得到最佳結果。