Niels_Henrik_Abel

從五次方程式到橢圓函數——讓數學家忙上五百年的天才

從五次方程式到橢圓函數——讓數學家忙上五百年的天才

從五次方程式到橢圓函數——讓數學家忙上五百年的天才

上一篇〈破解三次方程式的博學奇才〉講到,數學家很早就發現二次方程式的根式解(也就是將方程式中的係數透過四則運算與開根號解出所有的根),但之後歷經數百年卻一直對三次方程式束手無策。這個難題直到十六世紀中期才終於被義大利數學家卡爾達諾(Girolamo Cardano)破解,而他的弟子費拉里(Lodovico Ferrari)也跟著找出四次方程式的根式解。

受此激勵,數學界普遍相信再來找出五次方程式的根式解應該指日可待,不料將近三個世紀過去了,每個試圖挑戰的數學家都鎩羽而歸,就連萊布尼茲、歐拉、拉格朗日、高斯等大師在多方嘗試後也都知難而退。沒想到,挪威一位高中生竟然宣稱找到了五次方程式的解法。

阿貝爾(Niels Henrik Abel)於1802年8月5日出生,當時挪威還屬於丹麥—挪威聯合王國,1814年瑞典入侵後,挪威被迫獨立出來,成為臣服於瑞典的聯盟;阿貝爾的父親原是牧師,獲選為國會議員。

阿貝爾自小在家由父親親自教導,直到13歲上中學才離家住校,怎奈遇到脾氣暴戾的老師,學業成績一落千丈。三年後,父親因得罪議長而被迫離開政壇,竟開始酗酒,全家生計逐漸陷入困頓。就在阿貝爾陷入內外交迫之際,來了一位年輕的數學老師何姆波(Bernt Holmboe),宛如天使般適時伸出援手。

阿貝爾的中學老師何姆波。圖片來源:Wikipedia

在何姆波的循循善誘下,阿貝爾迅速展露數學天分。何姆波列出書單,讓阿貝爾自學歐拉、高斯、拉格朗日等大師的著作,並且幫他申請獎學金,讓他無後顧之憂。到了高中最後一年,何姆波已經無法再給予阿貝爾任何指導,更令他訝異的是,阿貝爾竟交出五次方程式的解法。

一個高中生完成無數大師都做不到的事?這也太匪夷所思!但何姆波仔細看過卻又找不到錯誤,他唯恐是自己能力有限,便轉寄給兩位大學教授,請他們確認。結果他們也挑不出毛病,於是又寄給丹麥的數學家迪根 (Carl Ferdinand Degen) ,請這位北歐最頂尖的數學家審閱,看是否能直接在期刊上發表。迪根一時也看不出有什麼問題,但為求謹慎,他請阿貝爾用五次方程式的實例實際演示一遍,阿貝爾這時才發現自己的解法有錯。迪根不願見他繼續浪擲數學天分,便建議他將心力轉向橢圓積分這個新的數學領域。

阿貝爾筆記本中的一頁。圖片來源:Wikipedia

1821年阿貝爾高中畢業,進入大學就讀,之前幫他檢查五次方程式解法的那兩位教授相當惜才,不但資助他的學費,還於1823年安排他到丹麥參訪。阿貝爾就在這裡認識了未來的未婚妻克莉絲汀。

阿貝爾雖然聽從迪根的建議研究橢圓函數,但五次方程式一直在他心中縈繞不去。從丹麥回到挪威後,他開始思考或許五次方程式不像二次、三次、四次方程式那樣存在根式解,這正是為什麼無數人前仆後繼卻都無功而返。於是他不再尋找解法,相反地,他要證明五次方程式並不存在根式解。

其實義大利醫生魯菲尼 (Paolo Ruffini) 早在1799年就已提出這個證明,並陸續將論文分送出去。但畢竟他只是個業餘數學家,很難讓人相信他能發現250年來諸位數學巨擘都沒看到的事實。加上他的證明極為複雜,得花時間才能研判正確與否,結果收到的數學家大多沒有回應,等到他1822年過世後,更沒人知道這篇論文的存在,當然阿貝爾也不知情。(不過魯菲尼的證明並不完備,因為他用了一項假設,卻未證明此一假設為真。)

義大利醫生魯菲尼。圖片來源:Wikipedia

經過幾個月的努力,阿貝爾終於成功完成證明,為高懸近三百年的難題畫上句點。但由於經濟拮据,為了節省印製論文的費用,阿貝爾將完整證明濃縮成短短六頁,裝訂成冊後,於1824年寄送給當代知名的數學家。結果他也和魯菲尼當年一樣受到忽視,寄出去的論文全都石沉大海,像高斯收到後根本連信封都沒拆開。即使有人打開來看,也因他濃縮後的證明過於精簡以致艱澀難懂,懶得仔細研讀。

阿貝爾本想藉此劃時代的發現謀得教職,無奈天不從人願,於是他1825年大學畢業後,申請獎學金出國留學。他先到德國柏林,在這裡和一位工程師克列爾 (August Crelle) 成為好友。克列爾完全臣服於阿貝爾的天才,第二年創辦世上第一份數學期刊後,連續刊登了阿貝爾多篇論文,終於讓他開始獲得注目。

1826年阿貝爾轉赴巴黎,埋首幾個月完成一篇關於超越函數的論文後,滿懷期待地將論文寄給法國科學院。當時科學院的秘書傅立葉將論文交給勒讓德(Adrien-Marie Legendre)和柯西(Augustin-Louis Cauchy)審閱,但前者老態龍鍾,無力了解,後者高傲自負,根本沒打開看。這篇論文三年後被德國的雅可比 (Carl Jacobi) 發現,這位日後躋身大師之林的青年數學家讚嘆道:「或許是我們這個世紀最重要的發現。」無奈為時晚矣。

阿貝爾苦等幾個月都沒有消息,又得了肺結核健康惡化,只好先到德國投靠好友克列爾。阿貝爾抱病完成一系列橢圓函數的文章後,思鄉心切,克列爾勸他留下來擔任數學期刊的編輯,但他婉拒了,於1827年返回挪威。找不到工作的阿貝爾只能當家教掙錢;貧病交迫中,他赫然發現雅可比也發表了橢圓函數的論文,於是日以繼夜地趕工,交出了橢圓函數的加法定理、雙週期性,以及橢圓積分的反演等重大發現。

1829年4月6日,阿貝爾終於不敵病魔,病逝於床上,臨終前愧疚地要求大學好友照顧始終不離不棄的未婚妻。兩天後,遠在德國的好友克列爾尚未聞其死訊,欣喜地寫信通知阿貝爾已獲柏林大學聘任為數學教授。一年之後,法國科學院才於1830年6月將象徵最高榮譽的數學論文大獎,頒給阿貝爾與雅可比兩人。

從21歲破解五次方程式的謎題,到26歲英年早逝,阿貝爾在短短五年內就做出許多影響深遠的貢獻,如今以他為名的數學定理或名詞超過30個,法國數學家埃爾米特 (Charles Hermite) 也說:「阿貝爾留給數學家的,夠他們忙上五百年。」只可惜對於他的肯定與榮耀都來得太晚,倘若他能早日脫離貧病交迫,不知還會留下多少重大成果。

(2002年,挪威政府為了紀念阿貝爾兩百年誕辰,設立阿貝爾獎,比照諾貝爾獎,每年頒獎鼓勵傑出的數學家。)

阿貝爾獎的logo。圖片來源:Wikipedia

參考資料:

  1. Niels Henrik Abel – Wikipedia
  2. C21.pdf (chiuchang.org.tw)
  3. 《無解方程式》,Mario Livio 著,蔡承志 譯,臉譜出版

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