上一篇〈破解三次方程式的博學奇才〉講到，數學家很早就發現二次方程式的根式解（也就是將方程式中的係數透過四則運算與開根號解出所有的根），但之後歷經數百年卻一直對三次方程式束手無策。這個難題直到十六世紀中期才終於被義大利數學家卡爾達諾（Girolamo Cardano）破解，而他的弟子費拉里（Lodovico Ferrari）也跟著找出四次方程式的根式解。
受此激勵，數學界普遍相信再來找出五次方程式的根式解應該指日可待，不料將近三個世紀過去了，每個試圖挑戰的數學家都鎩羽而歸，就連萊布尼茲、歐拉、拉格朗日、高斯等大師在多方嘗試後也都知難而退。沒想到，挪威一位高中生竟然宣稱找到了五次方程式的解法。
阿貝爾（Niels Henrik Abel）於1802年8月5日出生，當時挪威還屬於丹麥—挪威聯合王國，1814年瑞典入侵後，挪威被迫獨立出來，成為臣服於瑞典的聯盟；阿貝爾的父親原是牧師，獲選為國會議員。
阿貝爾自小在家由父親親自教導，直到13歲上中學才離家住校，怎奈遇到脾氣暴戾的老師，學業成績一落千丈。三年後，父親因得罪議長而被迫離開政壇，竟開始酗酒，全家生計逐漸陷入困頓。就在阿貝爾陷入內外交迫之際，來了一位年輕的數學老師何姆波（Bernt Holmboe），宛如天使般適時伸出援手。
在何姆波的循循善誘下，阿貝爾迅速展露數學天分。何姆波列出書單，讓阿貝爾自學歐拉、高斯、拉格朗日等大師的著作，並且幫他申請獎學金，讓他無後顧之憂。到了高中最後一年，何姆波已經無法再給予阿貝爾任何指導，更令他訝異的是，阿貝爾竟交出五次方程式的解法。
一個高中生完成無數大師都做不到的事？這也太匪夷所思！但何姆波仔細看過卻又找不到錯誤，他唯恐是自己能力有限，便轉寄給兩位大學教授，請他們確認。結果他們也挑不出毛病，於是又寄給丹麥的數學家迪根 (Carl Ferdinand Degen) ，請這位北歐最頂尖的數學家審閱，看是否能直接在期刊上發表。迪根一時也看不出有什麼問題，但為求謹慎，他請阿貝爾用五次方程式的實例實際演示一遍，阿貝爾這時才發現自己的解法有錯。迪根不願見他繼續浪擲數學天分，便建議他將心力轉向橢圓積分這個新的數學領域。
1821年阿貝爾高中畢業，進入大學就讀，之前幫他檢查五次方程式解法的那兩位教授相當惜才，不但資助他的學費，還於1823年安排他到丹麥參訪。阿貝爾就在這裡認識了未來的未婚妻克莉絲汀。
阿貝爾雖然聽從迪根的建議研究橢圓函數，但五次方程式一直在他心中縈繞不去。從丹麥回到挪威後，他開始思考或許五次方程式不像二次、三次、四次方程式那樣存在根式解，這正是為什麼無數人前仆後繼卻都無功而返。於是他不再尋找解法，相反地，他要證明五次方程式並不存在根式解。
其實義大利醫生魯菲尼 (Paolo Ruffini) 早在1799年就已提出這個證明，並陸續將論文分送出去。但畢竟他只是個業餘數學家，很難讓人相信他能發現250年來諸位數學巨擘都沒看到的事實。加上他的證明極為複雜，得花時間才能研判正確與否，結果收到的數學家大多沒有回應，等到他1822年過世後，更沒人知道這篇論文的存在，當然阿貝爾也不知情。（不過魯菲尼的證明並不完備，因為他用了一項假設，卻未證明此一假設為真。）
經過幾個月的努力，阿貝爾終於成功完成證明，為高懸近三百年的難題畫上句點。但由於經濟拮据，為了節省印製論文的費用，阿貝爾將完整證明濃縮成短短六頁，裝訂成冊後，於1824年寄送給當代知名的數學家。結果他也和魯菲尼當年一樣受到忽視，寄出去的論文全都石沉大海，像高斯收到後根本連信封都沒拆開。即使有人打開來看，也因他濃縮後的證明過於精簡以致艱澀難懂，懶得仔細研讀。
阿貝爾本想藉此劃時代的發現謀得教職，無奈天不從人願，於是他1825年大學畢業後，申請獎學金出國留學。他先到德國柏林，在這裡和一位工程師克列爾 (August Crelle) 成為好友。克列爾完全臣服於阿貝爾的天才，第二年創辦世上第一份數學期刊後，連續刊登了阿貝爾多篇論文，終於讓他開始獲得注目。
1826年阿貝爾轉赴巴黎，埋首幾個月完成一篇關於超越函數的論文後，滿懷期待地將論文寄給法國科學院。當時科學院的秘書傅立葉將論文交給勒讓德（Adrien-Marie Legendre）和柯西（Augustin-Louis Cauchy）審閱，但前者老態龍鍾，無力了解，後者高傲自負，根本沒打開看。這篇論文三年後被德國的雅可比 (Carl Jacobi) 發現，這位日後躋身大師之林的青年數學家讚嘆道：「或許是我們這個世紀最重要的發現。」無奈為時晚矣。
阿貝爾苦等幾個月都沒有消息，又得了肺結核健康惡化，只好先到德國投靠好友克列爾。阿貝爾抱病完成一系列橢圓函數的文章後，思鄉心切，克列爾勸他留下來擔任數學期刊的編輯，但他婉拒了，於1827年返回挪威。找不到工作的阿貝爾只能當家教掙錢；貧病交迫中，他赫然發現雅可比也發表了橢圓函數的論文，於是日以繼夜地趕工，交出了橢圓函數的加法定理、雙週期性，以及橢圓積分的反演等重大發現。
1829年4月6日，阿貝爾終於不敵病魔，病逝於床上，臨終前愧疚地要求大學好友照顧始終不離不棄的未婚妻。兩天後，遠在德國的好友克列爾尚未聞其死訊，欣喜地寫信通知阿貝爾已獲柏林大學聘任為數學教授。一年之後，法國科學院才於1830年6月將象徵最高榮譽的數學論文大獎，頒給阿貝爾與雅可比兩人。
從21歲破解五次方程式的謎題，到26歲英年早逝，阿貝爾在短短五年內就做出許多影響深遠的貢獻，如今以他為名的數學定理或名詞超過30個，法國數學家埃爾米特 (Charles Hermite) 也說：「阿貝爾留給數學家的，夠他們忙上五百年。」只可惜對於他的肯定與榮耀都來得太晚，倘若他能早日脫離貧病交迫，不知還會留下多少重大成果。
（2002年，挪威政府為了紀念阿貝爾兩百年誕辰，設立阿貝爾獎，比照諾貝爾獎，每年頒獎鼓勵傑出的數學家。）
參考資料：
- Niels Henrik Abel – Wikipedia
- C21.pdf (chiuchang.org.tw)
- 《無解方程式》，Mario Livio 著，蔡承志 譯，臉譜出版
