高懸百年終被破解的「掛谷猜想」究竟是什麼？
每四年頒發一次、有「數學諾貝爾獎」之稱的「菲爾茲獎」（Fields Medal），前天公布了四位得獎者。其中35歲的中國籍數學家王虹備受矚目，因為她成為菲爾茲獎自1936年設立以來，第三位獲獎的女性，而且她解決了三維空間的掛谷猜想，是一百多年來許多數學大師都做不到的事。
不過掛谷猜想到底是什麼？我看了許多報導都沒有講清楚，只好自己研究一下，順便和大家分享我的理解。
維度
首先我們得重新認識維度這個概念。點、線、面分別是0維、1維和2維，我們則是生活在三維空間，這是大家都習以為常的分法，不過你知道嗎，維度不是只有整數。舉例來說，想像一個實心的正三角形，然後
1. 取三邊中點連線，將原來的三角形分成四個相等的小三角形；
2. 拿掉中間的小三角形；
3. 對剩下的三個小三角形重複步驟1；
如此不斷地一直做下去（如下圖）。
這是波蘭數學家謝爾賓斯基（Wacław Sierpiński）在1915年提出的，因此稱為「謝爾賓斯基三角形」。問題來了，它的面積每次都剩下3/4，所以會一直趨近於零，這樣還算是二維平面嗎？但另一方面，它的邊界卻是不斷擴增且仍圈成某種圖形，也不同於一維的線條。那麼它的維度應該是多少？
先來看熟悉的整數維度。當邊長增加為2倍，簡單多邊形所占的空間變成2²倍，所以是2維；立方體所占的空間變成2³倍，所以是3維。而三個小謝爾賓斯基三角形組成一個大的謝爾賓斯基三角形，大的面積是小的3倍，邊長則是2倍，把3寫成2ᵈ，d就是它的維度，大約是1.585。
現在你知道維度不是只有整數，而且即使面積的極限值等於零，維度仍可能大於1。不過數學家定義維度的方式其實沒這麼簡單，德國數學家豪斯多夫（Felix Hausdorff）就運用集合論，於1918年對維度提出更嚴謹、更週延的定義，可適用於各種情況。用此定義算出來的維度便稱為「豪斯多夫維度」。
掛谷轉針問題
掛谷猜想源於日本數學家掛谷宗一於1917年提出的「掛谷轉針問題」。想像一位日本武士進茅房時遭遇襲擊，必須揮舞武士刀轉360度，才能抵擋四面八方射來的箭。但茅房狹小，要如何轉動武士刀，掃過的面積才能最小？
數學上，這個問題轉化為在平面上找出最小面積的圖形，使得長度為1的針可在其中連續轉動360度。
一般最直覺的方式應該是以針的中點為圓心轉一圈，這樣掃過的面積是π/4。但如果固定針的一端，旋轉60度後，換固定另外一端，再轉60度，以此類推，這樣掃出的面積比π/4小10%。後來掛谷自己想到讓針的中點沿著三尖瓣線的內切圓一邊移動，一邊旋轉，這樣的面積只有π/8（如下圖）。
數學家們原本以為這就是終極解答，沒想到蘇聯數學家貝西科維奇（Abram Besicovitch）在1928年丟出了一個意想不到的答案：經由一連串將高度為1的三角形不斷分割、疊合，可以構造出一個面積趨近於0的圖形，卻能讓長度為1的針在裡面轉動（角度趨近於零）、平移、轉動、平移、……，而達成360度的旋轉（如下圖）。
掛谷轉針問題不限於二維平面，還可以推及到所有維度，例如在三維空間就是球面或是各種奇形怪狀的封閉曲面；四維以上雖然難以想像，但數學上還是可描述。總之，無論哪種解法、在哪個維度，只要滿足掛谷轉針問題，也就是在各個方向都包含一條單位線段的圖形，都稱為掛谷集合（也稱為貝西科維奇集合）。
而「掛谷猜想」就是認為在n維空間的掛谷集合，其豪斯多夫維度一定等於n。
掛谷猜想
你可能會覺得這不是廢話嗎？在二維空間的圖形維度當然是2、三維空間的維度當然是3。但是，還記得前面提到謝爾賓斯基三角形嗎？它的豪斯多夫維度就不是2，而是1.585。既然貝西科維奇所提出的解法，面積極限值和謝爾賓斯基三角形一樣都是等於零，怎麼知道它的豪斯多夫維度會不會也小於2？
所以在得到證明之前，掛谷猜想就只是猜想。n=1，也就是一維空間時，掛谷猜想當然成立。n=2則直到1971年，英國數學家戴維斯（Roy Davies）才證明二維掛谷猜想也成立。但n到了3就太過複雜，難倒了數學家，無數大師（包括陶哲軒）努力嘗試，也只能證明三維掛谷集合的豪斯多夫維度一定大於2.5，此後30年就再無進展。
就在大家逐漸放棄希望的時候，沒想到2025年2月，王虹和美國數學家扎爾（Joshua Zahl，陶哲軒的學生）發表論文，證明了掛谷猜想在三維空間也成立，成功攻克了這個世紀難題。
就像許多數學工具後來成為科技發明的基礎，王虹用以證明三維掛谷猜想的創新方法，也將對科技應用帶來深遠影響。因為無論電腦、通訊、醫療（電腦斷層掃描）、雷達，都少不了波的調和分析，但以往調和分析在三維曲面遇到許多難解的問題，而今有了王虹的數學工具，很可能就能有所突破。
當然，對數學家而言，立下數學的重要里程碑本身就具有價值。王虹發展出的這套工具，未來是否能進一步推廣到四維、五維，甚至更高維度的掛谷猜想，且讓我們拭目以待。
