每個孤獨的梅森質數，都伴隨一個完美的數

質數是孤獨的，它的因數就只有1和它自己，不像6還有2和3，15還有3和5，但質數卻再也沒有其它因數，就像一個沒有任何朋友的小孩，只能抱著1這個布娃娃，自己玩耍。

2^p-1這種形式的梅森質數當然也是如此。不過，如果把-1挪個位置，移到指數p的後面，再和自己相乘的話，奇蹟就出現了：2^p-1 x (2^p-1) 會是個完美的數字（perfect number）。

什麼是完美數（也譯為完全數或完備數）？這是種很特別的自然數，它所有的真因數（即除了自身以外的因數）加起來，恰恰等於它本身。例如6的真因數有1、2、3，而1 + 2 + 3 = 6。

完美數很稀少，比日本壓縮機，比質數還稀少。第二個完美數是28（= 1 + 2 + 4 + 7 + 14），下一個是496，再來是8128，第五個就跳到8位數，到了第十個已經有54位數了。

早在西元前三百年左右，歐幾里得就證明當2^p-1是質數時，2^p-1 x (2^p-1) 一定是完美數，例如前四個梅森質數便分別對應到前四個完美數：

P = 2 ➡︎ 2¹(2²-1) = 2 x 3 = 6

P = 3 ➡︎ 2²(2³-1) = 4 x 7 = 28

P = 5 ➡︎ 2⁴(2⁵-1) = 16 x 31 = 496

P = 7 ➡︎ 2⁶(2⁷-1) = 64 x 127 = 8128

2^p-1 x (2^p-1) 一定是完美數，那麼反過來，每個完美數（註）也都是2^p-1 x (2^p-1) 的形式嗎？這個問題要等到與歐幾里得相隔兩千年的歐拉，才證明的確如此。也就是說，每個梅森質數都可得出一個完美數，每個完美數也都內含一個梅森質數。

截至目前為止，只發現了52個梅森質數，因此已知的完美數也就52個。而十月中旬發現目前最大的梅森質數2^136279841-1，也就意謂著同時發現了目前最大的完美數2^136279840 x (2^136279841-1)，共有82,048,640位數。

註：嚴格來說是「偶數的完美數」，因為不確定是否存在奇數的完美數。雖然無法排除這個可能性，但目前仍未發現奇數的完美數。