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換?不換?——蒙地霍爾問題

換?不換?——蒙地霍爾問題

換?不換?——蒙地霍爾問題

元宵節猜燈謎,若要應景,我想到的是之前在科學史上的今天寫過的「蒙地霍爾問題」。

想像你參加美國益智電視節目「做個交易吧」(Let’s Make a Deal),幸運地過關斬將,來到最後一關。在你眼前有三道門,你可以任選一道,門後的東西就是你的。有一道門後是最大獎汽車一部,另外兩道門則各是一頭山羊。

你憑直覺選了其中一扇門,知道門後藏了什麼的主持人蒙地·霍爾(Monty Hall)走到你沒選的另兩扇門中的一個,緩緩地打開────是頭山羊。你鬆了一口氣,此時霍爾卻以神秘的笑容問你:「再給你一次機會,要不要換另一扇門?」

你該堅持原來的選擇,還是該換另一扇門?

1990 年 9 月 9 日,莎凡特(Marilyn vos Savant)在雜誌專欄上回答了這個問題:應該換,因為換了,選到汽車的機率就會從 1/3 提高到 2/3。

莎凡特 10 歲時測得的智商高達 228,是金氏世界紀錄的保持人(但這個項目在 1990 年後就廢除了),她自 1986 年起在《Parade》雜誌開闢「請問瑪莉蓮」專欄,專門回答讀者帶有科學或數學成份的生活問題,相當受到歡迎。

沒想到,她這個回答引來數以千封的抗議信件,讀者們不解向來令人信服的瑪莉蓮為何會犯下如此初級的錯誤。不就剩兩扇門沒打開嘛,不論換不換,輸贏的機會都各半,怎麼會一扇門的勝算是另一扇門的兩倍?來信中更不乏博士級的讀者指責她搞砸了,要她先去上機率的課程。

莎凡特只好在下一期的專欄中列出所有可能性的樣本空間,以證明自己所言無誤,但還是有不少讀者不肯相信,繼續來信抨擊她:「已經有三位數學家指正你了,你還不承認錯誤?!」莎凡特沒有再花力氣在數學上,而是呼籲學校老師在班上實際做實驗看看。結果超過一千個班級做了實驗,幾乎百分之百證實換比不換好;有許多人用電腦模擬也都證明如此。

有趣的是,連大數學家艾狄胥(Paul Erdős)也都搞錯,甚至看了同事的證明仍不肯相信,直到幾百次的電腦模擬顯示換的勝算是 2/3 後,他才承認自己的直覺是錯的。

正如葛登能(Martin Gardner)在《科學美國人》轉載這個「蒙地霍爾問題」時所下的註解:「數學中還沒有其它哪個領域,比機率理論更容易令專家出錯。」

如果你仍難以接受這個答案,有個思考方式或許可以幫你搞清楚。

換的結果是好是壞,其實取決於你一開始的選擇,是吧?如果你原本沒選到汽車那扇門(這樣的機率是 2/3),那麼換了就能得到汽車;除非你很幸運一開始選到汽車(這樣的機率是 1/3),換了才反而不好。既然前者發生的機率比較大,當然換的勝率會比較高。

後記:

不過這個問題如果改從行為經濟學的角度來看,換不換對參賽者的感受而言,可能就都沒差囉。為什麼?請看下一篇〈蒙地霍爾問題的另一解——展望理論〉

 

標題圖片:蒙地霍問題圖示。圖片來源:維基百科 (Wikipedia)

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