今年諾貝爾物理獎頒給阿斯佩 (Alain Aspect)、克勞澤 (John F. Clauser) 與塞林格 (Anton Zeilinger) 三人，以表彰他們透過光子纏結實驗證明貝爾不等式不成立，以及率先研究量子資訊科學。很多人看到這幾個名詞都不知道是什麼意思，新聞報導也是有看沒懂，因此我想就來試試給個大家看得懂的解釋，並交代一下歷史脈絡。
一、 量子是什麼？
這得從「光究竟是粒子或波？」這個吵了幾百年的問題談起。原先是牛頓的粒子說居於上風，但兩百年後馬克士威提出電磁波理論，並經赫茲以實驗證明光是一種電磁波後，光波說又成為主流。但有個「黑體輻射」的問題（註 1）用光波說始終無法解釋，直到 1900 年普朗克提出「光量子」說，主張光的能量有最小基本單位，這個問題才獲得解決。
光有最小基本單位，不就代表光是粒子嗎？光波派怎能接受！不過愛因斯坦卻又用光子成功解釋「光電效應」（註 2），最後大家終於在 20 世紀初取得共識，光既是粒子也是波，具有「波粒二象性」。
沒想到過沒多久，德布羅意提出了「物質波」理論，主張電子、質子這些粒子也可以看成波，並且很快地獲得實驗證實，從此這些可以觀察到波粒二象性的微小粒子就概稱為「量子」，而描述它們特性與行為的理論就稱為量子理論或量子力學。
註 1：簡單說，光如果是電磁波，那麼物體加熱後應該會輻射出各種頻率的光，包括致命的紫外光。但顯然實際上並非如此。
註 2：光打在金屬表面會激發出電子，產生電流。但當時覺得很奇怪：為什麼低於某個頻率的光，強度再強也無法激發多電子？
二、 疊加態
光和各種基本粒子都是量子，具有波粒二象性，其中光波適用於馬克士威方程組，那麼物質波呢？
1926 年，薛丁格提出波動方程式，各種粒子終於也可以用波函數來描述。不料就在大家讚嘆之餘，玻恩 (Max Born) 竟跳出來語出驚人地說：
「你們都搞錯了，那個波函數不是代表真的波，而是一種機率波。」
「機率？」
「是的，粒子本身並沒有確切的狀態，而是由所有可能的狀態疊加在一起。你以為原子裡的電子一直乖乖的待在自己的軌道域裡嗎？不，它們就像包覆著原子核的一團雲，什麼位置都有可能，沒有界限。」
「胡說八道，粒子明明就在那裡，每次測到的各種數值都一樣，怎麼會沒有確切的狀態？」
「哈哈，那是因為我們對它進行觀測時，粒子才從具有各種可能性的「疊加態」崩陷為其中一種狀態。」
這下量子陣營炸鍋了，從此分為以玻恩、波耳、海森堡等人為首的「哥本哈根學派」，主張並沒有客觀實在、一切不過是測量的結果；以及由愛因斯坦領軍，堅信有客觀實在、無關乎觀不觀測的古典陣營。（順帶一提，大家應該都聽過「薛丁格的貓」這個思想實驗，但薛丁格可是在古典陣營這邊的，他也不相信有疊加態，才故意舉既生又死的貓為例，來嘲諷哥本哈根學派。）
三、不確定性原理
哥本哈根學派的主張看似荒誕不經，卻又無法證明是錯的，尤其海森堡於 1927 年提出的「測不準原理」，更是吻合許多粒子物理的實驗結果。根據海森堡的計算，我們無法同時知道粒子的確切位置和動量（以防有人你忘了，動量等於質量乘以速度）；當你想越精準地測量它的位置，所測得的動量誤差就越大，反之亦然。總之位置的誤差與動量的誤差兩者相乘，一定會大於等於某個值，因此就像蹺蹺板一樣，一個誤差越小，另一個誤差就越大。
（其實測不準原理應該翻譯成不確定性原理才對，因為測不準會讓人以為是量測技術的問題，但哥本哈根學派根本就認為不確定性是粒子的本質，並非受限於量測技術所致。）
愛因斯坦決定從不確定性原理展開攻擊，只要找出同時測得粒子的位置與動量的方法，推翻不確定性原理，至少就能證明哥本哈根派的主張是不完備的。
於是愛因斯坦展開他最擅長的思想實驗，舉出同時測得位置與動量的方法，但波耳很快就發現其中漏洞，指出他所設想的機關會影響整體系統，因此還是測不準。愛因斯坦只好再構思另一種方法，卻又被波耳駁倒，如此數度攻防，不確定性原理始終屹立不搖，古典派只能暫時偃旗息鼓。
四、EPR悖論與量子纏結
1935年，愛因斯坦與另兩位物理學終於想出一個無懈可擊的方法：根據動量守恆原理，A、B 兩個粒子產生交互作用的前後，動量總和不會改變，因此在它們交互作用後測量 A 粒子的動量，就能推算出 B 粒子的動量。為了避免對 A 粒子的測量影響到 B 粒子，我們可以等到它們相距很遠，例如超過光速一秒所走的距離，再進行測量；而在此同時，也測量 B 粒子的位置。
既然光速不可能被超越已是公認的定理，那麼任一邊的測量結果絕對沒受到另一邊的影響，也就是說 B 粒子當下的動量與位置確實可以得知，但哥本哈根學派的量子理論卻無法同時表述出這兩個物理量的值，可見它並不完備。
好吧，那你說我們的理論不完備，但以機率和疊加態來詮釋波函數明明不斷獲得驗證，又怎麼說呢？愛因斯坦認為哥本哈根詮釋看似神奇，其實只是有某種「隱變數」我們還不知道，一旦把這尚未發現的隱變數納入古典理論，就會證明這世界確實是一種客觀的存在，而不是隨觀測而變。這就像以前會覺得磁力很神奇，但後來用電磁理論就能輕易解釋了。
薛丁格讀了愛因斯坦這篇論文後，拍案叫絕，並用「量子纏結」這個名詞稱呼這兩個產生交互作用的粒子。他進一步指出哥本哈根詮釋的荒謬之處：如果測量 A 粒子才讓它從疊加態崩陷為某一特定狀態，它的動量也就確定了；但根據動量守恆定律，B 粒子的動量在此瞬間也就確定下來。為什麼對 A 粒子進行測量的這個動作，會瞬間讓 B 粒子從疊加態崩陷為確定狀態。尤其若依愛因斯坦等人的思想實驗所說的，等到兩個粒子相距甚遠才測量 A 粒子，怎麼可能會有超越光速的神祕力量，讓 B粒子「知道」應該變成與 A 粒子相符的狀態？愛因斯坦聞之也附和嘲笑說這根本是「鬼魅的超距作用」。
愛因斯坦與另兩位物理學家的這個思想實驗從此便以「EPR悖論」著稱（EPR分別是他們三人姓氏的第一個字母），而這一次哥本哈根派就找不出漏洞，無法反駁。問題是，EPR 悖論在真正進行實驗之前，只能算是合理的推論，不能就此判定哥本哈根學派的學說有問題，更何況各項實驗結果也一直都符合他們的理論預測。
因此 EPR 悖論只是一道防線，暫時守住古典派的陣地，不讓哥本哈根學派席捲一切。雙方就這麼僵持近三十年後，古典派一位沒沒無聞的新生代宣稱找到了反攻之道，因為他已經想出如何驗證 EPR 悖論的方法……。
五、貝爾其人
想像有個來自哥本哈根的魔術師將兩枚硬幣分別放進兩個盒子裡，再將它們旋轉後蓋上盒子，然後預言打開盒子後，看到的兩枚硬幣絕對是一正一反朝上。
他請兩名觀眾上台各自打開一個盒子，果真一枚硬幣人頭朝上，另一枚反面朝上。為了證明這不是巧合而且沒動手腳，魔術師退到一旁，讓觀眾自己準備硬幣和盒子，由觀眾旋轉硬幣再分別放進盒子後，拿到劇院外再打開，很奇妙地仍是如此，換誰來試幾次也都一樣，屢試不爽。
魔術師發誓絕對沒有作弊，而他也不知道為什麼會這樣，只是發現兩枚硬幣一起旋轉後，似乎就產生了奇妙的連結，能感應到對方的行為來決定自己應該如何表現。但一群來自古典學園的觀眾打死不信，認為背後一定隱藏著什麼機關（隱變數），只要找出這機關就會恍然大悟，發現這魔術一點也不神祕。
數十年過去，這群古典學園的觀眾逐漸凋零，卻始終無法找到背後的機關，而這魔術師卻越來越受歡迎，受到各地觀眾的擁戴。不過在人數稀疏的古典派團員中，仍有位年輕觀眾暗自立誓要拆穿這魔術……。
貝爾 (John S. Bell) 出生於北愛爾蘭，1956 年拿到博士學位，研究領域是核子物理與量子場論。就學期間，他發現哥本哈根學派儼然成為量子物理的正統，所謂的量子論已變成指的是哥本哈根學派的理論，這令他難以接受，因為他心中是偏向古典陣營這邊的。愛因斯坦就在他獲得博士學位前一年過世，一代宗師已去，他更想證明愛因斯坦是對的，一定有某種隱變數可以解釋奇特的量子現象，不需要哥本哈根詮釋。
貝爾先在英國原子能研究所上班，四年後轉往歐洲核子研究組織 (CERN)，憑藉自己的專長參與粒子加速器的設計工作。閒暇時他一直思索如何進行 EPR 實驗，證明纏結的兩顆粒子在分開後，其狀態就已經確定了，而不是處於疊加態中，直到觀測才有確定的狀態。
經過多年的思索後，貝爾終於在 1964 年想出驗證 EPR 悖論的方法：只要多次測量兩顆纏結粒子的自旋方向，然後統計它們的相關性。
六、自旋方向和相關性
電子有自旋向上和自旋向下兩種方向，雖然實際上電子自旋並不是像地球那樣自轉，但方便起見，你就暫且這麼想像，然後用右手法則，四根手指代表電子旋轉方向；逆時鐘轉，拇指向上就是自旋方向，反之，順時鐘就是自旋向下。
產生纏結的電子對自旋方向剛好彼此相反，一個向上，另一個就是向下，這種絕對不變的關係類似動量守恆，便可以用在 EPR 實驗中。等等，你說電子的自旋方向一上一下在分開前就確定了，但是哥本哈根學派還是可以主張在測量之前，它們各自的自旋方向仍處於向上和向下的疊加態，直到測量那一瞬間才確定下來，這樣還是各說各話，無從驗證孰是孰非啊。
沒錯，所以還需要利用相關性來做區分。
相關性就是兩個變數或事件的相關程度，像身高和體重有很高的相關性，但身高和考試成績就沒什麼相關性；還有一種剛好相反的則是負相關，例如氣溫越高，電暖器越賣不出去，氣溫和電暖器銷量就是負相關。如果百分之百一定會伴隨著發生的，相關性為 +1，完全沒相關的相關性為 0，而一個發生、另一個絕對不會發生的相關性則是 -1。所以產生纏結的 A 電子自旋向上， B 電子自旋向下，兩者的相關性就是 +1，而兩者都自旋向上或是都自旋向下的相關性就是 -1。
好了，接下來可以看看貝爾的巧思了。
七、貝爾不等式
我們再借用前面硬幣魔術的例子，人頭向上就代表電子自旋向上，反面就代表自旋向下。現在貝爾向魔術師提出挑戰：
「你可以讓硬幣停止旋轉時不會倒下來嗎？」
魔術師想了想後，回說：「可以，但這樣硬幣不就都是邊緣向上嗎？」
「所以得從盒子側面打開，才能看見硬幣是哪一面。不過我希望改成像比薩盒那樣，但不是正方形，而是圓形。比薩盒上方的蓋子像時鐘那樣標示 1 到 12 ，然後每個數字的側邊有個小窗口，觀眾各選一個窗口打開後，回報看見硬幣哪一面。」
「萬一剛好硬幣邊緣正對自己呢？」
「那就觀眾自己決定是正面或反面。此外觀眾也不是隨意選窗口，而是從你指定的三個窗口中選一個，不過兩人不能選一樣的，例如你指定 12、3、8 的話，他們所選的組合就只有 (12, 3)、(12, 8)、(3, 8) 三種。」
魔術師眉頭一揚，不懂貝爾這項要求的用意。
貝爾繼續解釋：「這是為了比較相關性的差異。」
「相關性？」
「是的，你之前的表演，兩枚硬幣總是一正一反，所以相關性是 +1。現在我這個方式，硬幣邊緣有時可能介於兩名觀眾所選的窗口之間，這種情況下，兩人回報的會是同一面，計算相關性時以 -1 計，相關性的平均值就會小於 1。而如果兩個開口相差的角度超過 90 度，多數的情況反而是兩人看到同一面，此時相關性就變負的了。」
「這我明白，但我不懂相關性又能證明什麼。」
此時貝爾推出黑板，在上面邊寫邊說：「如果真相是如我們古典派所主張的，兩枚硬幣在盒子打開前就已確定朝向哪裡，那麼相關性就只取決於硬幣的方向和開口的角度。拿開口是 (12, 3) 為例，相關性是 -1*1/2 + 1*/2 = 0（如圖，硬幣邊緣從 12 點鐘到 3 點鐘位置，以及 6 點鐘到 9 點鐘位置，兩個開口會在硬幣不同側，機率是 1/2）；(12, 8) 的相關性是 -1*8/12 + 1*4/12 = -1/3；(3, 8) 的相關性是 -1*10/12 + 1*2/12 = -2/3。」
「所以呢？」魔術師已經開始不耐煩。
「我算過了，假定 x、y、z 代表你指定的三個窗口，然後用 Pxz、Pzy 和 Pxy 分別表示它們兩兩之間的相關性，那麼無論這三個窗口之間的夾角是多少，都會符合這條不等式！」貝爾在黑板用力寫下：
｜Pxz – Pzy｜ ≦ 1 + Pxy
魔術師恍然大悟：「我明白了！相反地，如果我所說的都是真的，兩個硬幣彼此有神祕的連結，能感應對方來調整自己的表現，那麼相關性應該會更高。如此一來，你的不等式就不成立了，是吧？」
貝爾指著魔術師說：「沒錯，你既然宣稱沒有作弊，那就接受這個挑戰，進行我說的實驗吧！我雖然破解不了你的魔術手法，但我相信實驗結果一定會證明背後藏有某種機關（隱變數），根本沒有什麼纏結作用。」
魔術師笑笑說：「沒問題，不過我看你空手而來，想必也沒做出這樣的盒子吧？沒關係，我很樂意設法打造出來，到時候就按你說的來驗證這條不等式。但我相信結果恐怕會讓你期望落空啊，年輕人。」
八、驗證結果
實際要進行貝爾設想的實驗並不容易，直到 1972 年，美國物理學家克勞澤 (John F. Clauser) 和弗里德曼 (Stuart Freedman) 用纏結的光子，偵側其偏振方向，才首度實現貝爾不等式的測試。雖然實驗數據顯式貝爾不等式不成立，卻因光源強度不足，漏測了許多光子，加上觀測的距離仍不夠遠，無法完全排除有隱變數的作用，因此仍不算是有效證明。
十年之後，法國物理學家阿斯佩 (Alain Aspect) 以雷射光源產生的光子進行實驗，並讓偵測器相距 12 公尺，偵測方向每 10 奈秒隨機改變，由於光速在 10 奈秒內走不到 12 公尺，證明古典派聲稱的隱變數也不可能產生影響，終於毫無疑義地證明貝爾不等式不成立。不僅如此，實驗數據還完全符合量子理論所預測的相關性，將古典派徹底打垮。
古典派即使仍不死心，要指阿斯佩的隨機改變偵測方向並非真的隨機，隱變數冥冥之中已預先影響了偵測方向的選擇，那麼 1998 年由奧地利物理學家塞林格 (Anton Zeilinger) 領軍的實驗，就讓隨機選擇徹底排除隱變數的可能影響，愛因斯坦的主張終於被宣判死刑了。
貝爾本想用貝爾不等式給予哥本哈根學派致命一擊，沒想到反而成為古典學派的輓歌。不過也因為他的「弄巧成拙」，才讓量子纏結的神奇作用獲得證實，同時促成量子計算、量子通訊等應用，貢獻厥偉。據說他 1990 年就獲得諾貝爾物理獎的提名，可惜他當年 10 月 1 日就腦溢血死亡，無緣獲獎。如果他能活到今日（94歲雖然算是稀壽，但也不無可能），今年的諾貝爾物理獎應該會有他一份吧。
參考資料：
