很多人應該知道幾天前這則新聞了：一位前NVIDIA工程師發現迄今所知最大質數：
2136279841-1
它共有41,024,320 位數，如果比照之前有本印出π的前100萬位數的書，每頁1萬個數字的話，那麼這個質數可以印成41冊。
前一個最大質數是2018年發現的282589933-1，「只能」印成25冊，再前一個則是2017年發現的277232917-1，兩者相差160萬位數，這次一下子多了1,600萬位數，無疑是很大的躍進。
梅森質數
你或許有注意到這幾個質數都是2n-1的形式（而且n都是質數），難道質數都長這樣嗎？當然不是，不過目前所發現特別大的質數，很多都是如此。這最早是17世紀的法國神父梅森（Marin Mersenne）所提出，因此2p-1（p代表質數）這種形式的質數便稱為「梅森質數」。他在1644年列出下列幾個數字：
2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257
認為將它們代入Mp = 2p-1，得出的都會是質數（M2=3, M3=7, M5=31,……）。
當時只知道到19都是質數無誤，但31之後就是梅森自己的猜測了，結果直到1772年，大數學家歐拉才證明M31是質數，然後再過一百年，M127才被證明是質數。至於M67和M257，梅森猜錯了，它們並非質數，另一方面，他反而漏掉了61, 89, 107這幾個會得出梅森質數的數字。
當數字越來越大時，要驗證是否為質數就是這麼困難，尤其是在只能用紙筆計算的年代。法國數學家盧卡斯（Édouard Lucas）於1857年，以15歲之齡發明一種較快速的檢驗法，不需一一試除質因數，仍然花了19年的時間才證明有39位數的M127是質數。若繼續靠人工計算，可能窮極一生也找不到更大的質數，想要再有所突破，只能等待電腦出現了。
電腦驗算
二次大戰後，英美紛紛開發基於馮紐曼架構的可程式化數位電腦，英國曼徹斯特大學的「曼徹斯特一號」也是其中之一。負責開發測試程式的圖靈便在1949年中寫了一支程式，用來逐一驗算梅森質數，不過受限於曼徹斯特一號的硬體規格，在發現更大的質數之前便終止測試了。
雖然圖靈的程式未發現新的質數，卻從此開啟了用電腦尋找質數的時代。1951年，劍橋大學用EDSAC電腦發現180×(M127)2+1 也是質數。第二年，美國數學家羅賓遜（Raphael Robinson）用國家標準局的電腦，在一年內就發現五個梅森質數：M521、M607、M1279、M2203、M2281，並證明到22303-1為止，再無其它梅森質數。
隨著電腦運算能力的提升，更多質數陸續被找到，但隨著數字越來越大，質數也越來越稀少，到了1994年，也不過又多發現17個更大的質數（其中16個是梅森質數）。有鑒於此，美國電腦科學家沃特曼（George Woltman）於1996年初發起「網際網路梅森質數大搜尋」（Great Internet Mersenne Prime Search，簡稱GIMPS）計畫，讓有興趣的人下載程式到個人電腦，集群體之力一起驗算梅森質數。
不到一年，GIMPS即找到下一個梅森質數，之後每隔一、兩年就有斬獲，迄今已發現18個梅森質數；目前所知最大的前七個質數，全都是出自GIMPS。
值得一提的是，這次前NVIDIA工程師杜蘭（Luke Durant）運用GIMPS的方式和以往截然不同。之前透過GIMPS發現的17個梅森質數，用的都是個人電腦，但杜蘭是將分布在17個國家的24個資料中心串連起來，成為有數千顆GPU的雲端超級電腦。結果成效斐然，原本搜尋更大質數已六年沒有進展，而他只花了一年時間就取得成果，而且是大幅度的躍進。
找到這麼大的質數有什麼用？嗯，目前是沒有實際用處，但對杜蘭而言，這達成了他想證明的：除了用來打造AI，GPU也可用於數學和科學的基礎研究；而對GIMPS的參與者而言，這項成就也彰顯了他們過去的貢獻。
其實人類文明的重大進展往往奠基於原本看似無用的知識，就像古希臘學者絕想不到質數會成為現代加密法的基礎，誰知道追尋更大的質數未來會派上什麼用場？
參考資料
