當布萊切利莊園的團隊為了破解德軍新型加密系統「鋸鰩」，秘密地在 1943 年底開發出史上第一台可程式化的數位電子計算機——「巨像一號」(Mark 1 Colossus) 時，大西洋的另一邊，美國陸軍為了提升彈道分析的效率，也正在開發「電子數值積分儀暨計算機」(Electronic Numerical Integrator And Computer，簡稱 ENIAC)。 ENIAC 用的真空管多達一萬七千多個，比巨像一號多了十倍。除了運算能力更勝一籌，最大的差別在於，巨像一號只能執行破解密碼的程式，但 ENIAC 卻能進行各種數學運算，是史上第一台可程式化的通用型電腦，儘管它是以十進位進行運算，而非二進位。 更換程式太麻煩 ENIAC 同樣是以切換開關和插拔纜線的方式來設定程式，每次要更換不同程式都非常麻煩又耗時，當絕頂聰明的馮紐曼於 1944 年 8 月受邀參觀時，當場就對此表示不以為然。他一針見血的提出解決之道：何不將程式編寫於打孔卡片上，然後讀取到儲存裝置中；若要更換程式，只要輸入另外一疊卡片，就可以輕易取代原有程式。 設計 ENIAC 的莫奇利 (John Mauchly) 與艾科特 (J. Presper Eckert) 相視苦笑，他們何嘗沒有想過，但現實中就是沒有適合的貯存裝置，無論是電磁閥或是利用電刷為電容充放電，都是靠機械動作，速度跟不上。 難道不能用真空管嗎？其實 ENIAC 已經有用一些真空管做為暫存器，貯存計算的數據和函數。但這已是極限，若要再貯存程式，得用更多真空管，如此一來，原本已重達 27 噸的 ENIAC 更塞不下房間裡，而且完工時程又將延誤，軍方絕不允許。 充滿幹勁的馮紐曼可不願就此作罷，他已經勾起興趣，決心要開發出理想中的計算機。25 歲的艾科特大感振奮，因為他原本就有此想法，如今有備受各方敬重的馮紐曼出面，極有可能付諸實現。事實上他在去年底，已經注意到雷達系統中有樣東西或許可以做為計算機的貯存裝置。 水銀延遲線記憶體 雷達原理是不斷發射無線電波，然後將反彈回來的電波轉換成電子訊號，呈現在螢幕上，藉此判斷目標物的移動方向與距離。然而高山、雲層等靜止不動的物體也會反射電波，如果沒有把這類訊號濾除掉，螢幕上豈不是佈滿光點，無法區辨？ 為了消除這些沒用的光點，當接收到反彈回來的無線電波後，電子訊號會一分為二，一個直接送往螢幕，另一個傳送到一根裝滿特殊液體的金屬管，管子一端的石英晶體因電流而震盪，產生的脈衝波經由液體傳遞到另一端的石英晶體後，因為壓電效應又轉成電子訊號，再輸出到螢幕。 經過適當調校，如果是來自靜止物體的反射電波，經過金屬管子延遲抵達螢幕的訊號會和原始訊號互相抵銷，就不會產生光點。但目標物因為不斷移動，反射回來的電波相位不斷改變，因此不會和延遲訊號抵銷，而呈現在螢幕上。 艾科特從中獲得靈感，電子訊號輸入金屬管所形成的脈衝波若能形成駐波，便可做為計算機的記憶裝置。不過金屬管的長度要夠長，才能容納更多週期變化的脈衝波，只是管子越長，就會耗損越多脈衝波的能量，影響訊號的正確性。艾科特做了許多實驗後，在 1944 年初發現脈衝波在水銀中的耗損最低，不過要做為計算機的貯存裝置，仍有許多技術問題要解決。 馮紐曼倒是一聽就覺得大有可為，於是經他跟軍方積極斡旋下，開發小組一邊建造 ENIAC，同時一邊設計下一代計算機「電子離散變數自動計算機」(Electronic Discrete Variable Automatic Computer，簡稱 EDVAC)，首創先例將程式和數據都貯存在一個電子裝置中。 …
Author Archives: 瑞棋 張
奇謎與炸彈、鋸鰩與巨像——可程式化數位電腦的誕生
上一篇〈比圖靈更早破解奇謎機的人〉寫到，最先破解奇謎機的其實是波蘭數學家瑞耶夫斯基，而不是圖靈。不僅如此，由於納粹後來又變更加密方式，結果圖靈設計的炸彈解密機用不到兩年就失去作用，最後破解密碼的是另外由別人設計的「巨像」(Colossus) 電腦，而這也成為史上第一台可程式化的數位電腦。 萬一波蘭人的炸彈機不管用 1939 年七月，英國應邀前往波蘭密碼局，得知三位波蘭數學家已經破解奇謎機後，隨即招募語言學家與數學家進駐布萊切利莊園，秘密展開破譯德軍密電的工作。 其實奇謎機的複雜程度的確難以破解，只因德軍將訊息密鑰重覆加密兩次，產生某種規律，才讓波蘭人發現可以忽略接線板的變化，只要檢測轉輪的十萬種排列組合，就能找出正確設定及密鑰。他們發明炸彈機來進行檢測，六台同時運作，每台測 17,576 種，兩個小時就能破解密鑰。只不過後來德軍將轉輪改為五選三，排列組合增加為十倍，變成一百萬種（註1），資源有限的波蘭密碼局才向英、法求援。 英國當然有能力造出 60 台炸彈機來應付，但萬一哪天德軍發現漏洞，不再重覆加密兩次訊息密鑰，炸彈機就不管用了。因此當布萊切利莊園的「政府代碼與密碼學院」(Government Code and Cypher School，簡稱 GC&CS) 於九月成軍後，便基於這個前提展開研究。 圖靈的炸彈機 根據波蘭密碼局過去幾年所破譯的德軍密電，內文中常會出現特定字詞，例如每天清晨的電報總會提到天氣，而「希特勒萬歲」也常出現在電報結尾。雖然德軍後來變更加密方式，但這些字詞的模式卻依然沒變，成為布萊切利莊園解密的破口。 當然，由於同樣字母每次的加密結果都不一樣，就算在密電中找到這幾個字詞，也無法直接據以破譯整篇內容。然而圖靈在比較它們加密前後的字母後，卻發現了類似瑞耶夫斯基所發現的循環特徵，例如某則電報中，hitler 的密文是 TMRJSH，那麼 h -> T、t -> R、r -> H 便形成一個循環，而這就可以用來檢測密鑰，也就是奇謎機的設定。 在圖靈眼中，這樣的循環就像是遞迴函數，而若以電路的角度，又相當於構成電流迴路。他結合這兩項洞見，於 1940 年初設計出模擬奇謎機的機器，可以自動逐一比對出符合的設定。這台機器高、寬各約兩米，也叫「炸彈機」(Bombe)，但原理與構造與波蘭的炸彈機完全不同，共有 108 個轉輪，每 3 個一組模擬一台奇謎機，相當於 36 台不同設定的奇謎機同時運作。 問題是，倘若訊息密鑰的破綻不復存在，接線板互換字母的影響就無法排除，所要面對的可能性將多達 1.59 x 10^20 種（註2），如此龐大的天文數字，怎麼可能一一加以比對？ 所幸實際上並不需要進行那麼多種嘗試。既然在同樣設定的奇謎機輸入密電就會還原成明文，代表轉輪在同樣位置時，兩個字母一定是互相轉換，例如輸入 A 轉換成 C，則輸入 C 一定轉換為 A，不會是其它字母，這樣就排除掉很多可能性。圖靈的同事便針對此一特性設計了「對角線電路板」，加裝到炸彈機後，大幅縮短查驗密鑰的時間。此外，經由語言學家協助歸納出特定字母通常會伴隨著哪些字母的機率，圖靈也將貝氏定理（註 3）納入炸彈機的運作規則，可以更快找到密鑰。 鋸鰩現身 第一台炸彈機於 1940 …
比圖靈更早破解奇謎機的人
奇謎機登場 1918 年第一次世界大戰結束，隔年在協約國的共識下，長期被俄羅斯、普魯士、奧地利三國瓜分，已亡國 123 年之久的波蘭，終於得以復國。然而，波蘭又和剛從帝制變成共產國家的蘇聯打了兩年仗，才能確立領土。慘痛的歷史教訓讓波蘭不敢鬆懈，深恐宿敵蘇聯與德國仍不甘心，因此特地成立密碼局，以掌握這兩個鄰國的動向。 最初幾年，波蘭密碼局表現良好，大致都能破譯攔截到的電報，但到了 1928 年，德軍的密電突然變得完全無跡可循，怎麼樣都無法瞧出端倪。其實被難倒的不只是波蘭密碼局，早在兩年前，英、法兩國的情報單位就發現德國海軍的密電完全變了個樣，再也無法破譯。 原來德軍採用「奇謎機」(Enigma，也譯為「恩尼格瑪機」) 進行加密。這是德國工程師薛比烏斯 (Arthur Scherbius) 於 1918 年發明的機器，原本相當笨重，獲得軍方採用後，改善成約莫打字機大小。從奇謎機的鍵盤輸入明文後，電子訊號經過三個轉輪和一個反射器轉換成密文；收到密電那一方再從同樣設定的奇謎機輸入密文，就會解譯回明文。 這三個轉輪彼此銜接，每輸入一個字母後，第一個轉輪便轉一格，轉完一圈時，第二個轉輪會被帶動轉一格；第二個轉輪也是如此帶動第三個轉輪，就像里程表的個、十、百位那樣。不過奇謎機的轉輪有 26 格，代表 26 個字母，而且每個轉輪內部的線路配置不同（如圖），每轉動一格，26 個字母的轉換規則就變一次，共有 26 x 26 x 26 = 17,576 種變化，難怪密碼專家束手無策。 一萬兆種可能性 波蘭密碼局體認到光靠語言學家是不夠的，於是在 1929 年元月和波茲南大學 (Poznań University) 數學系合作，開設密碼學課程，希望從學生中發掘出破解密碼的人才。之所以選擇這所大學，是因為波茲南這地區之前被德國佔領，因此這些學生小時候都曾學過德語，才有能力理解德軍電文。 參加密碼學課程的學生中，以 23 歲的瑞耶夫斯基 (Marian Rejewski) 最有天分。不過他才受訓兩個月就取得碩士學位，未待課程結束就前往德國哥廷根大學進修，一年後才又回到波茲南大學，表面上只是教學助理，但其實祕密地在地下防空洞中為密碼局效力。而此時，德軍的加密方式又更上一層，變得更不可能破解了。 由於薛比烏斯曾把商用版的奇謎機也賣給其他對象，德軍為了確保他人無法用來破解密電，於是在1930 年中變更設計，成為 I 型奇謎機。除了將三個轉輪改為活動的，有 6 種排列順序外，還增設了類似電話交換機的接線板，可讓兩個字母彼此互換，任選 6 組就有一千億種組合，這樣乘上 26 x 26 x 26 …
從量子貨幣到量子密鑰
「量子資訊就像夢中的資訊，當你試圖描述你的夢時，也改變了你對它的記憶，因此最終你忘卻了原來的夢，記得的只是你對它的描述。」 ——班奈特 (Charles Bennett) 上一篇提到威斯納 (Stephen Wiesner) 在 1968 年所寫的論文〈共軛編碼〉遭到退稿，就連指導教授也不支持，認為這不是「正經的科學」。說實話，這也不能怪編輯與教授不識貨，畢竟無論就技術可行性（怎麼把光子嵌進貨幣中？）或成本效益面（防偽裝置本身比貨幣價值貴萬倍以上）而言，量子貨幣怎麼看都是個不切實際的空想。 〈共軛編碼〉這篇論文原本就此石沉大海、永不見天日了，所幸威斯納影印了一份給之前的大學室友班奈特，十五年後，原是空中樓閣的量子貨幣，竟化為實際可行的量子密鑰，為量子通訊揭開了序幕……。 到 IBM 上班的生化博士 班奈特的雙親都是音樂老師，不過他自小就立志成為科學家，當別的小孩在外玩耍時，他卻埋首於《科學美國人》雜誌。有次他媽媽走進廚房，納悶爐子上怎麼有一鍋正冒著泡的湯，她用勺子一撈竟是隻烏龜。原來是班奈特試圖用鹼性液體溶解烏龜肉體，以製作完美的骨架標本。 受到華生和克里克發現 DNA 雙螺旋結構的影響，班奈特決定要當個生化學家，於是 1960 年進入布蘭戴斯大學 (Brandeis University) 便選了化學系，大學畢業後再到華生任教的哈佛大學攻讀生化博士，並如願擔任華生的助教。 班奈特所選的研究領域是還相當新的分子動力學，也就是用電腦模擬分子間的交互作用，因此他在研究所還修了數理邏輯和資訊理論的課程，而這也為他日後轉換跑道埋下伏筆。 1972 年，班奈特在做了兩年博士後研究之後，轉而到 IBM 的實驗室上班，專門研究資訊理論。在思索資訊處理與熱力學的關係之餘，他的腦海中總不時浮現威斯納那篇論文，裡面那個讓他讚嘆不已的量子貨幣。 從防偽到加密 班奈特大三時，威斯納才來讀布蘭戴斯大學，兩人差了兩屆，又不同科系，卻同樣對科學充滿熱愛。兩年室友期間，威斯納不時述說量子物理的種種奇妙現象，班奈特獲得新知的同時，也產生了高度興趣。這或許是為什麼幾年之後，威斯納特地將無人認可的論文寄給他，冀望至少有個知音懂得欣賞。 量子貨幣的構想的確令班奈特十分著迷，尤其在他加入IBM 研究資訊理論後，更覺得如此巧妙的設計應該可以用來做什麼。他不時拿出論文重讀，卻始終想不出實際應用。如此琢磨了十年，直到 1979 年，他參加 IEEE（電機電子工程師學會）舉辦的計算機科學研討會，遇見蒙特婁大學的布瑞瑟德 (Gilles Brassard) 教授，終於出現轉機。 布瑞瑟德專門研究密碼學，他聽見班奈特轉述量子貨幣的構想後也是眼睛一亮。光子不同的偏振方向可以用來代表 0 或 1，量子貨幣上 20 個光子組合起來便是 20 個位元的訊息，妙的是，歹徒再怎麼研究也絕對無法破解，這豈不是最安全的加密方式？ 問題是，不只歹徒沒輒，收到量子貨幣的銀行也得有鈔票編號與偏振片的對照表，才知道如何驗鈔，確認光子的偏振方向。這對照表相當於密鑰，歹徒一旦獲取，就能破解量子貨幣。但這樣又回到傳統加密的老問題：怎樣能安全遞送密鑰，不落入歹徒手中？如此一來，量子貨幣本身再怎麼安全也就沒有意義了。難道威斯納的構想真的華而不實、毫無用處？ 班奈特和布瑞瑟德不肯死心，兩人不斷腦力激盪，卻總是一次又一次地碰壁。1984 年的某一天，布瑞瑟德來 IBM 找班奈特討論，結束後布瑞瑟德要搭火車回蒙特婁，班奈特陪他在月台上等，兩人繼續量子加密的話題。聊著聊著，靈光一閃的時刻驀然降臨，原來他們一直都搞錯方向了，根本不必用光子貯存訊息，而是應該用光子產生密鑰。 突破思路的盲點後，加密之道豁然開朗；威斯納十幾年前埋下量子貨幣的種子，在班奈特和布瑞瑟的耐心灌溉下，終於要長成量子密碼學的樹苗了……。 非對稱加密 其實就在班奈特和布瑞瑟兩人結識不久前，密碼學才出現一個革命性的概念：非對稱加密。 傳統的加密方式用密鑰將明文轉換為密文後，接收方也用同一個密鑰將密文還原成明文；加密與解密都是用同一個密鑰，只是運算過程相反而已。二次大戰的德軍使用「奇謎機」(Enigma) …
開啟量子加密的人
長久以來，偽鈔的問題一直無法解決，發行銀行只能藉由精細的雕工、特殊的紙張、墨水，或是加上雷射標籤等技術上的門檻，來防範歹徒製造偽鈔。然而這些設防畢竟都在鈔票上，理論上歹徒還是可以做出就連銀行都難辨真假的偽鈔。那麼，是否有可能做出絕對無法被仿冒的貨幣？這篇所要介紹的史蒂芬·威斯納 (Stephen Wiesner) 便想出了這麼一個方法，而這個方法後來便成為量子加密，乃至量子資訊科學的濫觴。 求學過程 威斯納出生於 1942 年 8 月 30 日，父親是電機博士，參與過雷達研發、曼哈頓計畫，以及登月計畫，後來到麻省理工學院任教，從工學院院長一路當上校長。耳濡目染之下，威斯納自小就對量子力學、資訊理論與電子通訊充滿興趣，常從父親的書架上取閱這方面的書籍。 1960 年，威斯納進入加州理工學院，大一物理的實驗課中，和他一組的同學正是克勞澤 (John Clauser，1972 年首度以實驗證明貝爾不等式不成立，而於今年獲得諾貝爾物理獎，關於他的介紹可參見這篇文章)。他們對物理都充滿熱枕，常互相討論，兩人很快成為好朋友，還一起合資買了台二手車。然而威斯納卻在兩年後因課業死當遭到退學，在東岸工作的父親乾脆安排他就近來位於美國麻州的布蘭戴斯大學 (Brandeis University) 就讀。 威斯納和化學系的查理．班奈特 (Charles Bennett) 成為室友。他們兩人原是同年紀，但由於威斯納是重讀大學，所以與當時大三的班奈特差了兩屆，但這無礙於兩人成為惺惺相惜的好朋友。這份友誼在日後也促成班奈特接手威斯納的研究，實現絕對安全無虞的量子通訊。 1964 年，貝爾 (John S. Bell) 以訪問學者的身分來到的布蘭戴斯大學，埋首於貝爾不等式的論文。當時班奈特即將畢業，威斯納仍是大三，這三位將成為量子物理的關鍵人物，竟同時待在這所當時還稱不上名校的校園裡，真是美麗的巧合。 威斯納於 1966 年畢業後，到哥倫比亞大學讀研究所。兩年後他寫了一篇題為〈共軛編碼〉(Conjugate Coding) 的論文，提出如何利用光子的偏振，打造絕對無法仿冒的「量子貨幣」(quantum money)，從此打開了量子資訊科學的大門。 當光子遇到偏振片 光子也是一種電磁波，波的振動方向就相當於光的偏振方向，從垂直上下振動、橫向左右振動，到斜向各種角度的振動都有可能。各種偏振方向的光都可以穿過一般透明玻璃，但若是偏振片（可想成多了一層柵欄），能否通過就要視光的偏振與偏振片的夾角而定。兩者方向完全一致時，當然百分之百可以通過，但若互相垂直就會被擋下無法通過。而當夾角在這之間，通過的機率取決於夾角大小，45 度時剛好 50 %，越接近 90 度則通過的機率越小。 光子還有個奇特的性質，一旦光子通過偏振片，它的偏振方向就變成與偏振片一樣。例如原本 45 度角偏振的光子如果能通過水平偏振片，偏振方向就從 45 度角變成是水平的。這是因為光的偏振方向可以視為上下振動與左右振動兩種可能性的疊加，當光子遇到水平偏振片的那一瞬間剛好是左右振動，才會通過。 就像具有偏振效果的太陽眼鏡會濾掉不同偏振方向的光，剩下一半通過的光變成都與太陽眼鏡的偏振方向一樣，此時放上第二個太陽眼鏡，若與原來的偏振方向垂直，光就都無法通過，變成漆黑一片。 量子貨幣 威斯納設想的量子貨幣除了和一般紙鈔一樣印有鈔票編號，還會嵌入 20 顆光子。這些光子只有四種偏振方向，分別是垂直 ↕、水平 ⟷、右上 …
為什麼不能用量子纏結進行超光速通訊？
根據量子理論，兩個纏結的粒子不管相距多遠，當一個粒子的狀態確定的當下，另一個粒子的狀態也就決定了，這「鬼魅般的超距作用」是不受光速限制的。既然如此，那麼我們可以利用量子纏結，以超越光速的速度來傳送訊息嗎？ 答案是不行。為什麼？為了避免大家打瞌睡，我且用人物對話的方式來說明。 總統：「博士幹得好，你們用實驗證明愛因斯坦是錯的，現在我們可以用量子纏結進行超光速通訊了吧？」 博士：「總統先生您誤會了，實驗只證明愛因斯坦的隱變數假說是錯的，量子纏結不具定域性，但是並沒有推翻相對論所說的光速極限。」 「什麼，你們不是說就算兩個光子相隔地球和火星這麼遠，地球的光子變怎樣，火星的光子瞬間也會變那樣嗎？這樣的訊息傳送不就超過光速？」 「我先確認一下，您知道粒子必須有交互作用才能產生纏結吧？也就是我們必須在地球上製造一對纏結光子後，再把其中一個光子送到火星，而光子的速度的就是光速……。」 總統打斷他，不耐地說：「這我當然知道。我的意思是先把纏結的光子送到火星，然後好好放著，等到哪天有緊急事件要通知對方再拿來用，這樣從發出通知的當下算起，不就是超光速通訊嗎？」 「長期維持光子的纏結嗎？」博士沉吟了一會兒才說，：「不過問題不在這兒，就算這在技術上做得到，也沒辦法進行超光速的瞬間通訊。」 「為什麼？」 「量子原本處於疊加態，直到我們進行觀測才崩塌為一個確定狀態，問題是我們根本無法決定觀測的結果是 0 或 1，這樣要如何用來傳達訊息？就像你用即時通訊軟體傳訊息，但每次鍵盤按下去，出現的字不見得一樣，對方看到根本不懂你要表達什麼。」 「原來沒辦法隨心所欲控制量子的狀態啊。」總統恍然大悟，但仍不甘心，來回踱了幾步後，突然興奮地說：「我想到了！你看喔，我們就準備 100 對纏結光子，如果觀測第一顆光子的結果不是我們想要的，就測下一顆，直到出現符合的結果，這時就去觀測後半部對應的那顆光子。例如第 3 顆的觀測結果是對的，就去測第 53 顆，這樣火星那邊看到他們的第 53 顆光子的疊加態崩塌了，就知道第 3 顆光子是我們要傳給他們的訊息。怎麼樣，佩服吧？」（註） 博士尷尬地乾笑後，才說：「我剛剛的比喻可能不夠精確，讓您誤會了。我們這邊的光子被觀測的瞬間只是決定了另一顆光子的觀測結果，並沒有讓那顆光子從疊加態自動崩塌為確定狀態。拿硬幣來比喻，一個硬幣停止旋轉後，另一顆硬幣仍然在旋轉，只不過讓它停下來時一定會是同一面。」 「所以我們測了光子，他們並不會知道，要等到觀測後才知道？」 「呃，他們不但觀測前不知道，就算觀測後也不確定我們這邊測了沒。」 「什麼嘛，那你們說要用光子進行量子通訊難道是在唬我嗎？」 「不，總統先生，我們絕對沒有騙您，量子纏結是可以用來進行量子通訊，但主要是為了加密，而不是超越光速。」 「現在的加密方式不好嗎？為什麼還需要量子加密？」總統沒好氣地說。 「加密就是將明文（原來的訊息）用演算法轉換為密文（轉換後看似無意義的訊息），而演算法用很大的天文數字做為『密鑰』，得對這密鑰做質因數分解，才能將密文還原為明文。因為質因數分解很耗時間，目前的電腦得花很久的時間才能破解密鑰，但以後量子電腦很快就能完成質因數分解，所以必須利用量子纏結產生密鑰，才能確保通訊安全。」 「等等，那這密鑰不就是瞬間產生，超越光速了？」總統又眼睛一亮。 博士苦笑說：「呃，沒那麼簡單，對纏結的光子進行觀測後，雙方必須再告訴對方自己的觀測結果，才能產生金鑰，所以還是無法超越光速。」 「哼，搞半天還是要用傳統通訊方式！而且萬一敵人竊聽到所說的觀測結果，不就知道金鑰是什麼，還是不安全啊！」 「不不，保證絕對安全。就算敵人竊聽到觀測結果，也搞不清密鑰是什麼樣子，而且會被我們發現有人竊聽。」 「真的這麼神奇？」原本意興闌珊的總統又提起興致，但對博士所說已持保留態度，於是命令他：「你給我好好解釋實際上要怎麼做，不然我不會批准經費的。」 「是是是，不過現在時間已晚，請讓我準備準備，下次再向您解說。」 總統點點頭離開後，博士心想下次可能得用圖解才能讓總統明瞭量子加密了。 註：本篇先貼於我的臉書紛絲頁，讀者楊政憲在留言處提出這個點子，經他同意後，我把它放入文章裡。
他證明愛因斯坦錯了，一生信念也垮了；五十年後他獲得諾貝爾獎
上一篇在介紹貝爾不等式時，提到貝爾屬於古典陣營，為了駁斥哥本哈根詮釋所說的：這世界沒有客觀實在也不具定域性（定域性的意思是作用力的影響僅限於一定範圍，而且傳遞速度無法超過光速），才想出貝爾不等式，可以證明愛因斯坦所說的隱變數的確存在。沒想到結果卻適得其反，後來量子纏結的實驗結果都違反貝爾不等式，反而推翻隱變數的假設，證明量子纏結確實有「鬼魅般的超距作用」。 本屆諾貝爾物理學獎得主之一的克勞澤 (John Clauser) 就是最早進行實驗的人，而他原來也走過和貝爾相同的路……。 原本想當工程師 貝爾不等式於 1964 年發表，這一年，克勞澤自加州理工學院物理系畢業。他接著繼續讀物理研究所，兩年後拿到碩士學位，再到哥倫比亞大學攻讀物理博士。 其實克勞澤原本一直想像將來會當電子工程師的。他的父親是航空工程教授，在他少年時期常帶他一起進實驗室。那些儀器設備總是讓克勞澤流連忘返，他於是暗自決定「我長大後要當科學家，這樣就能玩像這樣的酷玩意」。不過父親卻鼓勵他念基礎科學，這樣以後想轉往哪個領域也都可以，於是他才一路讀到物理博士。 然而克勞澤骨子裡終究還是比較偏愛實際應用，對過於抽象的數學總不由心生抗拒，例如他中學時就難以想像虛數有何意義，大學時系上有費曼和蓋爾曼這兩位理論大師，但他心中卻對他們毫無景仰之感。雖然他日後受訪時自嘲數學不好，但或許也因為這樣的心態，他在哥倫比亞大學讀博士時，高等量子力學這門課竟一當再當，直到第三次才過關。 他回憶道：「我當時相信量子力學一定是錯的，……我與周遭的人都不同，就是無法相信實在論已經崩毀。」是的，克勞澤是個徹徹底底的實在論者，他相信愛因斯坦提的隱變數應該存在，因此當他發現貝爾的論文時如獲至寶，決心要進行實驗。不過貝爾所提的方法只是概括性的原則，真正要從各種不同角度測量纏結粒子實際上幾乎不可能辦到；這也是貝爾這篇論文一直未被認真看待的原因之一。 雖千萬人吾往矣 克勞澤決定為貝爾不等式找出更可行的方案，以此作為博士論文的題目。然而量子世界不具定域性已是公認的事實，周遭的人都勸他不要浪費時間，指導教授更警告他再執迷不悟會毀了未來的學術生涯。 但克勞澤仍堅持已見，終於在 1969 年和另外三位志同道合的人共同發表論文，找出貝爾不等式的修正版（根據他們姓氏的第一個字母稱為「CHSH 不等式」），兩具偵測器的夾角只需固定在 45 度，就能檢驗隱變數存在與否。 克勞澤拿到博士學位後，到加州大學柏克萊分校做博士後研究，他的首要目標當然是進行實驗，證明隱變數的存在。同樣地，這次周遭的人又紛紛勸阻，要他幹點正事，別浪費時間和資源；費曼告訴他量子力學的正確性昭然若揭，根本不需要進一步檢驗，當他說這實驗或許會證明並不見得，費曼氣得差點把他扔出辦公室。 由於得不到研究經費，克勞澤與願意和他合作的博士生弗里德曼 (Stuart Freedman) 只能從儲藏室中翻找已被棄用的器材，加以修復組裝進行實驗。1972 年，他們終於成功完成實驗，實現貝爾的構想，但與克勞澤期望的相反，得到的數據竟然違反不等式。 見到自己的實驗竟然反倒證明愛因斯坦是錯的，多年來的信念也一夕崩解，克勞澤感到非常難過。隨後幾年他又做了幾次實驗，結果仍是一樣。不過嚴格來說這些實驗仍有漏洞，無法完全排除隱變數的作用，直到 1982 年法國物理學家阿斯佩 (Alain Aspect) 所做的實驗，才正式宣判貝爾不等式不成立。 在阿斯佩的光芒遮掩下，克勞澤的付出並未得到對等的認可，而當時指導教授的預言似乎也成真了，他一直沒有得到教授的教職，而是在各實驗室從事研究工作。不過他倒是很享受轉向科技應用領域，畢竟這是他自小的愛好。 他的貢獻終於在 2022 年獲得肯定，在與諾貝爾委員會的電話中，他高興地說：「至少我證明了自己是個嚴謹的做實驗者。」 參考資料： Oral History Interviews | John Clauser | American Institute of Physics (aip.org) Caltech alumnus John Clauser discusses his …
你給我翻譯翻譯，什麼是量子纏結與貝爾不等式？
今年諾貝爾物理獎頒給阿斯佩 (Alain Aspect)、克勞澤 (John F. Clauser) 與塞林格 (Anton Zeilinger) 三人，以表彰他們透過光子纏結實驗證明貝爾不等式不成立，以及率先研究量子資訊科學。很多人看到這幾個名詞都不知道是什麼意思，新聞報導也是有看沒懂，因此我想就來試試給個大家看得懂的解釋，並交代一下歷史脈絡。 一、 量子是什麼？ 這得從「光究竟是粒子或波？」這個吵了幾百年的問題談起。原先是牛頓的粒子說居於上風，但兩百年後馬克士威提出電磁波理論，並經赫茲以實驗證明光是一種電磁波後，光波說又成為主流。但有個「黑體輻射」的問題（註 1）用光波說始終無法解釋，直到 1900 年普朗克提出「光量子」說，主張光的能量有最小基本單位，這個問題才獲得解決。 光有最小基本單位，不就代表光是粒子嗎？光波派怎能接受！不過愛因斯坦卻又用光子成功解釋「光電效應」（註 2），最後大家終於在 20 世紀初取得共識，光既是粒子也是波，具有「波粒二象性」。 沒想到過沒多久，德布羅意提出了「物質波」理論，主張電子、質子這些粒子也可以看成波，並且很快地獲得實驗證實，從此這些可以觀察到波粒二象性的微小粒子就概稱為「量子」，而描述它們特性與行為的理論就稱為量子理論或量子力學。 註 1：簡單說，光如果是電磁波，那麼物體加熱後應該會輻射出各種頻率的光，包括致命的紫外光。但顯然實際上並非如此。 註 2：光打在金屬表面會激發出電子，產生電流。但當時覺得很奇怪：為什麼低於某個頻率的光，強度再強也無法激發多電子？ 二、 疊加態 光和各種基本粒子都是量子，具有波粒二象性，其中光波適用於馬克士威方程組，那麼物質波呢？ 1926 年，薛丁格提出波動方程式，各種粒子終於也可以用波函數來描述。不料就在大家讚嘆之餘，玻恩 (Max Born) 竟跳出來語出驚人地說： 「你們都搞錯了，那個波函數不是代表真的波，而是一種機率波。」 「機率？」 「是的，粒子本身並沒有確切的狀態，而是由所有可能的狀態疊加在一起。你以為原子裡的電子一直乖乖的待在自己的軌道域裡嗎？不，它們就像包覆著原子核的一團雲，什麼位置都有可能，沒有界限。」 「胡說八道，粒子明明就在那裡，每次測到的各種數值都一樣，怎麼會沒有確切的狀態？」 「哈哈，那是因為我們對它進行觀測時，粒子才從具有各種可能性的「疊加態」崩陷為其中一種狀態。」 這下量子陣營炸鍋了，從此分為以玻恩、波耳、海森堡等人為首的「哥本哈根學派」，主張並沒有客觀實在、一切不過是測量的結果；以及由愛因斯坦領軍，堅信有客觀實在、無關乎觀不觀測的古典陣營。（順帶一提，大家應該都聽過「薛丁格的貓」這個思想實驗，但薛丁格可是在古典陣營這邊的，他也不相信有疊加態，才故意舉既生又死的貓為例，來嘲諷哥本哈根學派。） 三、不確定性原理 哥本哈根學派的主張看似荒誕不經，卻又無法證明是錯的，尤其海森堡於 1927 年提出的「測不準原理」，更是吻合許多粒子物理的實驗結果。根據海森堡的計算，我們無法同時知道粒子的確切位置和動量（以防有人你忘了，動量等於質量乘以速度）；當你想越精準地測量它的位置，所測得的動量誤差就越大，反之亦然。總之位置的誤差與動量的誤差兩者相乘，一定會大於等於某個值，因此就像蹺蹺板一樣，一個誤差越小，另一個誤差就越大。 （其實測不準原理應該翻譯成不確定性原理才對，因為測不準會讓人以為是量測技術的問題，但哥本哈根學派根本就認為不確定性是粒子的本質，並非受限於量測技術所致。） 愛因斯坦決定從不確定性原理展開攻擊，只要找出同時測得粒子的位置與動量的方法，推翻不確定性原理，至少就能證明哥本哈根派的主張是不完備的。 於是愛因斯坦展開他最擅長的思想實驗，舉出同時測得位置與動量的方法，但波耳很快就發現其中漏洞，指出他所設想的機關會影響整體系統，因此還是測不準。愛因斯坦只好再構思另一種方法，卻又被波耳駁倒，如此數度攻防，不確定性原理始終屹立不搖，古典派只能暫時偃旗息鼓。 四、EPR悖論與量子纏結 1935年，愛因斯坦與另兩位物理學終於想出一個無懈可擊的方法：根據動量守恆原理，A、B 兩個粒子產生交互作用的前後，動量總和不會改變，因此在它們交互作用後測量 A 粒子的動量，就能推算出 B 粒子的動量。為了避免對 A 粒子的測量影響到 …
葬在月球上的人
今天有兩則值得注意的科學新聞，一是台北時間 9 月 27 日早上 7 點 14 分，美國航太總署 NASA「雙小行星轉向測試」(Double Asteroid Redirection Test，簡稱 DART) 的探測器撞上小行星戴摩佛斯 (Dimorphos)，試圖讓它改變軌道，撞向另一顆較大的小行星迪迪摩斯 (Didymos)，以測試藉此防衛地球免受小行星撞擊的可行性。 由於約莫一部車大小的探測器比直徑 110 公尺的戴摩佛斯小非常多，猶如「高爾夫球車衝撞金字塔」，但科學家希望在時速 2 萬 2 千公里的高速撞擊下，動量足以稍微改變戴摩佛斯的方向，即使只有 1 %，幾個月後便能在重力的吸引下，朝迪迪摩斯而去。不過不用緊張最後會不會成功，畢竟這兩顆小行星對地球都沒有威脅，這純粹是測試這個方法能否奏效。 另一則新聞提到今天是「木星衝」，是一年之中木星離地球最近，看起來也最大、最亮的日子。特別的是，這次是自 1963 年 10 月以來最接近地球的一次，不但肉眼可輕易看見，而且用小型望遠鏡就能看到木星表面較明顯的條紋。 這兩則新聞看似彼此無關，但回顧歷史，會發現都和一位天文學家有關，那就是人類至今唯一葬於月球上的舒梅克 (Eugene Shoemaker)。 舒梅克於 1928 年在洛杉磯出生，自小就喜愛研究各種礦石。他的學業成績優異，16 歲就進入加州理工學院就讀，1948 年大學畢業後繼續讀研究所，專門研究前寒武紀（從地球形成至五億四千萬年前）的變質岩，隔年取得碩士學位後，他又到普林斯頓大學攻讀博士。 在攻讀博士期間，舒梅克同時接受「美國地質調查局」的委託，在猶他州和科羅拉多州找尋鈾礦。由於研究顯示鈾礦常常出現在古老的火山口附近，舒梅克後來便到亞利桑那州北部的巴林傑隕石坑 (Barringer Crater，又稱 Meteor Crater) 進行調查。 巴林傑 (Daniel Barringer) 就是發現隕石坑的人，他於 1891 年發現時，推測這巨坑（直徑約 1.2 公里）是隕石撞擊所造成，但美國地質調查局的首席地質學家勘查後，認定是火山爆發的遺址，自此就一直被公認為火山口。這個超過半世紀的錯誤認知，直到舒梅克前來調查後才被扭轉。 舒梅克的組員包括美國地質調查局的人，其中有二次大戰後才來美國的趙景德，他原本是教美軍中文，後來拿到芝加哥大學的地質學博士後，便到美國地質調查局上班。1960 年，他在隕石坑附近找到一種特殊的石英，他和舒梅克一起研究後，確認這是只有在高溫與極高壓力下才能形成的柯石英 …
史上唯一「搞笑諾貝爾獎」與諾貝爾獎的雙料得主
2022 年搞笑諾貝爾獎（Ig Nobel Prizes）的得獎名單公布了，這些研究果然一如既往地令人訝然失笑，例如「失去尾巴而導致便秘是否會影響蠍子的交配？」、「人們會用幾根手指轉動不同尺寸的旋鈕？」、「從古馬雅陶藝罐上的圖案證明馬雅人用酒精等進行灌腸的儀式」、……等等。 這些研究看似荒誕，但研究者可都相當認真，而且他們從異於常人的角度發想，往往也帶來發人深省之處，而其實這也是搞笑諾貝爾獎最初設立的本意。事實上，過去就有一位搞笑諾貝爾獎得主，後來真的拿到了諾貝爾物理獎。 安德烈．海姆（Andre Geim）於 1958 年在俄羅斯出生，不過他的父母都是德國人。他於 1987 年自俄羅斯科學院的固態物理研究所取得博士學位後，留在俄羅斯科學院做研究，過了三年，他以訪問學者的身分前往英國待了半年。在英國做研究的這段期間，他所感受到自由開放的風氣讓他深覺「在蘇維埃糖漿中游泳只是浪費餘生」，因此寧可遊走歐洲各大學做博士後研究，也不願回俄羅斯。 漂浮的青蛙 1994 年，海姆終於在荷蘭的奈梅亨大學（Radboud University Nijmegen）獲得教職。只不過他之前研究的是微製造與光刻技術，但奈梅亨大學並沒有這方面的設備，倒是有強大的超導磁鐵，於是他乾脆轉而研究超導現象。 在正規的研究之餘，海姆突發奇想，據說磁化水可讓硬水軟化，避免產生水垢，但這說法一直缺乏科學實證；如果這是真的，那麼用強大磁場磁化過的水，效果應該會更明顯吧？於是他將水放進超導磁鐵中，卻赫然發現水懸浮在磁場中！他萬萬沒想到水的抗磁性 (Diamagnetism) 竟然足以抵銷重力，就連專門研究磁場的同事看了也都不敢置信，以為他故意用什麼魔術手法開他們玩笑。 海姆陸續又嘗試了許多種物品，其中懸浮的青蛙看起來格外荒謬，讓他因而獲頒 2000 年搞笑諾貝爾獎的物理獎。 石墨的電場效應 2001 年，海姆應聘至英國的曼徹斯特大學，第一年他先忙著籌建實驗室，力邀之前在奈梅亨大學指導的博士生諾沃肖洛夫（Konstantin Novoselov）過來幫忙。第二年首位博士生江達（Da Jiang）來報到了，海姆必須幫他找個研究題目。當時奈米碳管正當紅，但現在才要跳進去似乎有點晚了，倒是有許多論文指出石墨的一些電子特性仍是個謎。海姆之前在半導體領域有所涉獵，心想或許可以從這方向著手。 海姆知道江達語言能力不是很好，剛來英國又有許多生活上的事要安頓，於是要他先專心設法做出石墨薄片，越薄越好，等做出來了就開始測試石墨的「電場效應」。 海姆把一塊幾毫米厚的石墨交給江達，建議他用拋光機研磨。幾個月後，江達能做的已經達到極限了，他把成品交給海姆，海姆拿到顯微鏡下觀察，估算出厚度大約 10 微米——還是太厚了。師徒倆都難掩失望，實驗室裡一位來自烏克蘭的研究員蕭克亞瑞夫斯基（Oleg Shklyarevskii）知道後，拿了黏著一片石墨的膠帶給海姆，說這反正要丟掉了，看他要不要拿去試試看。 膠帶？ 原來蕭克亞瑞夫斯基是掃描穿隧顯微鏡（STM）的專家，他們在實作上都會用膠帶黏起石墨的表層，來做為 STM 標準的參考樣本。海姆把膠帶上的石墨放到顯微鏡下一看，嚇了一跳，竟然比江達研磨的還薄很多！他一方面懊惱自己讓江達白費了那麼多工夫，一方面又為發現膠帶如此簡單的工具而雀躍不已。 尤其膠帶上的石墨有些部位是透明的，如果它們不是破裂的缺口，就代表甚至薄到奈米層級了。石墨是由一層層蜂巢狀結構的碳原子平面堆疊而成，每層之間以凡得瓦力結合在一起。儘管科學家已經成功做出捲成管狀的奈米碳管，以及球狀的富勒烯，卻始終無法成功分離出以二維平面單獨存在的石墨烯，因此石墨烯向來被認為只是理論上的結構，實際上無法單獨穩定存在。 如今這片膠帶上的石墨讓海姆如獲至寶，他開始招募團隊，試圖製造石墨烯並進行電場效應實驗。蕭克亞瑞夫斯基手上有案子要忙，無法參加，於是諾沃肖洛夫自告奮勇加入。他們直接土法煉鋼，彎折膠帶粘住石墨薄片的兩側，然後撕開膠帶，讓石墨一分為二，如此不斷重複，石墨就越來越薄。 石墨烯現身 不過怎麼知道透明的部分是石墨或只是膠帶本身？海姆過去的半導體經驗此時派上用場，他本來就準備了矽晶圓要做電場效應的實驗，於是他將剝離的石墨薄片置於矽晶圓上，根據光波干涉效應，確認透明的部分的確是只有幾奈米厚的石墨。他們繼續改善剝離石墨以及轉移至測試設備的技術，終於在 2003 年底證實單層的石墨烯可以穩定存在，而且具有場效應電晶體的性質。 他們寫成論文後，先投稿給《自然》（Nature）期刊，不料卻被退件，只好轉而投給《科學》（Science）期刊。2004 年 10 月 22 日，這篇由海姆和諾沃肖洛夫領銜的論文刊出後，立刻造成轟動，原來過往對於石墨烯的迷思是錯的，而且竟然用膠帶這麼原始的方法就能從石墨中分離出石墨烯。 隨著各界競相投入研究這項神奇的奈米材，如今石墨烯已有更佳的製備方法，各種神奇的特性也陸續被發掘出來，成為具有無窮應用潛力的明星材料。海姆和諾沃肖洛夫也因此而共同獲頒 2010 年諾貝爾物理獎。 誰能料到當年獲得搞笑諾貝爾獎的海姆，竟會在十年後獲得科學界的最高殊榮？其實對海姆而言，當年將水倒入超導磁鐵（一般人都怕會弄壞昂貴的設備，不敢這麼做吧），或是後來以膠帶製備石墨烯，背後都是勇於跳脫窠臼的大膽嘗試。就如同他在諾貝爾獎典禮的演講中所下的註腳：「犯錯總比無聊好」。 附註：本文改寫自預定刊載於十月號《工業材料》月刊之專欄文章。 參考資料： Andre …