1924年，愛因斯坦收到一封來自印度的信，信上寫著： 敬愛的大師， 我冒昧地寄上這篇論文，請您細讀並不吝指教。我很想知道您對這篇論文的看法。……我的德文能力不足以將它翻譯成德文，如果您覺得它還有價值，並能安排發表於物理學刊。……也許您還記得有個加爾各答來的人，請您允許把您的廣義相對論論文翻譯成英文，那就是在下。 您忠實的玻色 寫這封信的人是出生於1894年1月1日的玻色（Satyendra Nath Bose），30歲的他只是個遙遠東方的大學講師，在物理界仍默默無名。他冒然寫信要愛因斯坦這位大師幫忙，是因為他自認隨信附上的這篇論文是個重大發現，怎奈四處投稿卻都被拒絕，不得已才寫信求助於愛因斯坦。 說來好笑，這篇論文其實起因於他自己犯下幼稚的數學錯誤。 1921年，玻色在課堂上向學生介紹量子力學的起源，也就是黑體輻射的實驗結果始終無法用古典物理解釋，直到普朗克提出光量子的概念，才成功解決這個難題。他為學生演示古典統計力學的計算過程時，卻搞錯連國中生都知道的機率觀念。 同時擲兩枚硬幣會有四種結果：正正、正反、反正、反反，機率各是1/4，因此出現一正一反的機率是1/2，但他卻一時糊塗，誤以為機率是1/3。奇妙的是，最後竟然得出和量子力學同樣的結果！ 玻色相信這絕不是巧合，他思考後提出「全同粒子」的嶄新觀念，認為光子是無法區別的，不像硬幣是獨立的不同硬幣，因此兩個光子是「正反」或「反正」也無法區分，應視為一種情況，因此機率是1/3，而非古典統計中的1/2。 玻色寫成論文投到許多期刊，但每個編輯都認為他的機率觀念有問題，他處處碰壁後，不得已只好寫信給愛因斯坦。 愛因斯坦果然與眾不同，一眼看出玻色觀點的重要性，不但親自把論文譯成德文投到《物理學刊》，還特定附上短箋為之背書。愛因斯坦在第二年也寫了一篇論文，將玻色的理論推廣到其它粒子，並預言了「愛因斯坦-玻色凝態」的全新相態（1995年獲得證實），而這種用於量子物理的統計便稱為「玻色-愛因斯坦統計」。 幸虧有愛因斯坦這樣的伯樂，玻色的理論才終於受到各界的重視，並且獲得廣泛的應用。玻色也隨即被擢升為教授，遺憾的是，直到他80歲過世前，始終未能獲得諾貝爾獎。為了紀念他，粒子物理標準模型中符合玻色-愛因斯坦的粒子（也就是負責傳遞作用力的粒子），都被稱為「玻色子」；如此，至少讓後人都無法忽略他對量子力學所作的貢獻。 補充一個軼事： 1927年，義大利政府為紀念伏打逝世一百週年，在科莫（Como）舉辦研討會，普朗克、愛因斯坦、薛丁格、狄拉克、波耳、海森堡、……等當代最著名的物理學家都參加了，玻色原本也在受邀之列，但是他卻沒有出席。 倒不是他有什麼私人因素不克前往，而是大會以為他還在加爾各答大學任教，於是在邀請函的收件人寫「給加爾各答大學的玻色教授」。但是玻色已經去了達卡大學，而加爾各答大學還有一位也姓玻色的教授，結果這位D. M. 玻色就代替好不容易出名的S. N. 玻色，參加了這場眾星雲集的物理大會。 不過D. M. 玻色比S. N. 玻色大8歲，分別在英國皇家科學學院與德國洪堡大學取得學士與博士學位，還曾進入卡文迪許實驗室學習。因此也有人認為他當時的學術聲望應不下於S. N. 玻色，或許邀請函本來就是給他的。 參考資料：
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《魷魚遊戲》中的無限遞迴
《魷魚遊戲2》中有這麼一幕：男主角知道三角形圖案的椪糖最簡單，胸有成竹地挑了之後，打開卻發現是極為複雜的三角形圖案。 這個圖案可不是製作單位隨便弄的，而是有所本，稱為「謝爾賓斯基三角形」，由波蘭數學家謝爾賓斯基（Wacław Sierpinski）在1915年所提出。產生這個複雜圖案的規則很簡單： 1. 畫一個正三角形； 2. 將三個邊的中點連起來，便將原來的三角形等分成四個正三角形； 3. 去除中間的三角形，針對其餘三個三角形重複步驟二到三，如此不斷往下。 這種經由簡單的方程式或演算法無限迭代，而不斷產生自我相似性的幾何圖形，便稱為「碎形」（fractal）。以謝爾賓斯基三角形來說，把再小的局部放大，都會和整體一模一樣（註）。 《魷魚遊戲》特地選用謝爾賓斯基三角形這個圖案，讓我不禁懷疑其實是有象徵意義的。還記得我之前寫過《魷魚遊戲》中的樓梯和荷蘭版畫家艾雪的關係嗎？當時我覺得是出自於〈相對論〉（Relativity）這幅版畫，但如今想來，應該是呼應艾雪的另一幅作品〈上下階梯〉（Ascending and Descending）。 〈上下階梯〉是艾雪根據英國數學家潘洛斯（Penrose）父子構想的「潘洛斯階梯」繪製而成。畫中一群僧侶（《魷魚遊戲》中的警衛穿著和他們簡直一模一樣）在構成迴圈的四座樓梯上行走，一隊順時針往上走，另一隊逆時針往下走。雖然他們以為自己不停地往上或往下走，但其實哪裡都到達不了，只是在原地繞圈圈。謝爾賓斯基三角形也是如此，你可以不斷延伸下去，但無論停在何處，都和原來一模一樣。 我認為這就是《魷魚遊戲》這兩個美術設計的背後意涵。就參賽者而言，你以為自己最後可以抵達終點，但其實到不了目的地，永遠困在爾虞我詐的輪迴中。而就魷魚遊戲本身而言，也是沒有終止的一天，因為這一場結束，總會又有另一批參賽者跳進來這個貪婪遊戲，無限延續，不會改變。 我不確定自己有沒有過度解讀，無論如何，可以從《魷魚遊戲》這部全球矚目的節目聯結到背後的數學，不是很有趣嗎？ 註：有些碎形則是每次迭代所產生的圖形乍看相似，但並不完全一樣；其中又以波蘭裔的美國數學家曼德布洛（Benoit Mandelbrot），於1970年代所提出的曼德布洛集合最具代表性。 他將簡單的函數每次迭代所得出的解，對應到複數平面上（橫軸是實數，縱軸是虛數），以電腦繪圖不斷地放大更小的局部，呈現出自我相似卻又略有變化的繁複圖案，令人目眩神迷。 這不僅是數學遊戲而已，曼德布洛指出自然界處處可見碎形，例如地理樣貌、人體血管，甚至人類活動如股市線圖也是一種碎形。為什麼隨機的事件最後竟會累積成似乎存在某種規則的碎形？這過程和混沌系統有高度關聯，如今碎形和混沌理論已被應用於各種領域。
拉塞福從鄉下青年成為一代宗師之路
這次去紐西蘭南島，有個遺憾是未能去拉塞福的出生地明水鎮（Brightwater）朝聖。雖然我們是自己開車，但明水鎮距基督城5個小時車程，和我們的行程完全相反，只能忍痛放棄。 移民之子 現在的我們就覺得偏遠，對十九世紀的拉塞福而言更是如此。他的的父母是來自蘇格蘭的移民，在明水鎮定居後，雖然又搬了幾次家，但都在附近的城鎮，因此拉塞福從小一直在小鎮讀書，直到1890年才到紐西蘭當時的第四大城——基督城，就讀坎特伯利大學（Canterbury College）。 對喜愛科學的拉塞福而言，紐西蘭不僅位在世界的邊緣，更是科學的邊陲地帶，坐困於此絕對無法有所成就。所幸在他大學畢業那年，機會來了。英國皇室有項研究獎助金，這一年首度開放給英國殖民地的學生也能申請，拉塞福憑著自己設計的無線電檢波器入選，於1895年前往劍橋大學的卡文迪許實驗室（Cavendish Laboratory），師從湯姆森（J. J. Thomson），進行為期三年的研究。 劍橋大學的異類 卡文迪許實驗室收的學生向來都是劍橋畢業，拉塞福是第一位非嫡系出身，又來自偏遠的海外殖民地，雖然湯姆森對他刮目相看，但他仍成為大家眼中的異類，總是受到排擠。1896年，馬可尼來英國展示無線電報系統，拉塞福原本引以為傲的檢波器，相較之下簡直有如玩具，他只好黯然放棄，另尋研究題目。 當時物理界正掀起研究陰極射線與X射線的熱潮，這是因為前一年11月，德國物理學家倫琴（Wilhelm Röntgen）在做陰極射線實驗時，意外發現穿透力極強的X射線，他拍下妻子左手的骨骼照片，震驚各界，吸引物理學家紛紛投入研究。法國物理學家貝克勒（Henri Becquerel）便是懷疑燐光礦物也會產生X射線，而於1896年3月初無意發現鈾鹽竟讓未拆封的底片曝光，首度揭露物質竟能自發性地散發出相當高的能量。 湯姆森鼓勵拉塞福研究較少人關注的放射性。與貝克勒同在巴黎的居禮夫婦想找出放射性的來源，拉塞福則著眼於放射性的本質。 1897年，湯姆森對陰極射線施加電場與磁場，從其軌跡發現了電子，拉塞福受此啟發，決定用類似的方法來分析放射線。不過他所拿的三年獎助金在1898年到期，剛好加拿大的麥吉爾大學（McGill University）正在物色物理系主任，在湯姆森的大力推薦下，才27歲的拉塞福竟雀屏中選。 另一個邊陲之地 拉塞福欣喜之餘也感到擔憂，他好不容易從紐西蘭來到英國，如今又要踏上另一個偏遠的殖民地，無法及時獲得最新資訊，又難以和科學社群密切交流（當時尚無越洋電報），怕會落後同儕。 拉塞福一到加拿大，便加緊延續放射性的研究。他將鈾鹽置於正負電極之間，確認鈾鹽的放射線造成空氣游離，產生電流後，將一張約5微米的鋁箔蓋住鈾鹽，電流隨即下降。他再加一張鋁箔，電流又降更多，但超過四張之後，電流即不再往下降，一直到12張鋁箔紙都維持在一個固定的值。 這代表鈾鹽的放射線至少有兩種，一種很容易被擋下來，另一種卻能輕易穿透很多張鋁箔紙；拉塞福把前者稱為α射線，後者稱為β射線，於1899年發表論文。 拉塞福雖然率先揭開放射性的一層面紗，不過貝克勒緊接著在1900年確認β射線就是電子，而在1898年發現釙和鐳兩種新元素的居禮夫婦，更是不斷有新的發現，他們兩人到1902年就發表了32篇放射性方面的論文。這讓身處邊陲的拉塞福更感焦慮，只能加倍努力。 他們會把我們當成煉金術士砍頭的 1901年的某一天，他的研究助理索迪（Frederick Soddy）發現釷元素竟然自發性地蛻變為鐳，不禁興奮地喊道：「拉塞福，這是蛻變（transmutation）！」，努力建立聲譽的拉塞福眉頭一皺，回說：「看在上帝的份上，不要叫它蛻變！他們會把我們當成煉金術士砍頭的。」第二年，他們在論文中謹慎地用「裂解」（disintegration）稱之。 拉塞福繼續揭開放射性一層又一層的面紗。他先於1902年證實α射線是帶正電的粒子，1903年又發現穿透力更強的第三種放射性，把它稱為γ射線。這一年，他的得意門生索迪決定回英國做研究，貝克勒和居禮夫婦獲頒諾貝爾物理學獎，想必讓拉塞福感觸更深。 1906年，拉塞福測量α粒子的電荷與質量比值，發現相當於帶兩個正電荷的氦原子，便推測α粒子就是氦離子（要等到1932年，他的學生查德威克發現中子後，才知道其實是氦原子核）。 重返英國 在加拿大熬了九年，拉塞福終於等到重返英國的機會，曼徹斯特大學於1907年聘請他擔任物理系主任，從此便能在歐洲學術圈內和其他同儕公平競爭。 其實拉塞福在加拿大的諸多發現早已獲得肯定，1908年的諾貝爾化學獎即頒予他，以表彰他對放射性研究的貢獻。（不過他有點不開心，因為他更希望拿到物理學獎。他曾說過：「除了物理，其它科學不過是集郵。」） 後來的事，大家都在課本上讀過了。他於1909年用α粒子轟向金箔，發現原子的質量大多集中於原子核，因而提出電子圍繞著原子核的行星模型，推翻恩師湯姆森的「葡萄乾–布丁模型」。1919年，他接替湯姆森掌管卡文迪許實驗室，完全體現了科學發展中兼具的革命與傳承精神。 1937年，拉塞福在緊急的腸阻塞手術四天後過世，享年僅66歲。他死後葬於西敏寺，與牛頓、達爾文等宗師同享最高榮耀。當然，紐西蘭人更以這位土生土長的科學巨擘為傲，紐西蘭最高面額的百元紙鈔上，便是拉塞福的肖像。 參考資料：
發明三極管與再生電路的人
美洲盃國際帆船賽 1901年9月25日星期二，馬可尼無線電報美國分公司的工程人員將無線電設備搬到船上，準備測試從海上發送無線電報到紐約長灘岸上的接收站。這是為了即將在週末展開的美洲盃國際帆船賽，「聯合通訊社」（Associated Press，簡稱美聯社）希望藉此首創帆船比賽的實況報導。 其實兩年前馬可尼已經在上一屆的比賽中，證明他的無線電報系統可行，因此拿到美聯社的合約。這兩年來系統經由弗萊明（John A. Fleming）的改良，更大幅提升收發電報的距離，用在這屆賽事肯定不是問題，現在測試只是確認新器材在搖晃的海面上也能正常運作，因此大家都抱著輕鬆的心情進行測試，準備速速測完就可收工休息。 沒想到船還沒出航，接收站就收到了不知哪來的摩斯電碼，解譯後的訊息竟是「馬可尼去死吧」等咒罵的字眼。 馬可尼的工程人員找到來源是「美國無線電話與電報公司」（American Wireless Telephone and Telegraph Company）的船，這家公司名稱只比 AT&T 多了「無線」這個詞，但其實和 AT&T 一點關係都沒有。他們之前宣稱買下了道貝耳（Amos Dolbear）於1886年取得的無線通訊專利，藉此控告馬可尼於1899年取得的美國專利無效。1901年3月敗訴後。他們仍繼續上訴，一方面想方設法阻撓馬可尼的業務。 AWT&T堅持自己有權進行測試，不肯退讓。美聯社擔心這樣下去，帆船賽的即時報導就要泡湯，於是出面協調，只要他們停止在這附近進行測試，避免無線電干擾，美聯社就會在報導中提及是由馬可尼公司和AWT&T共同提供無線電報。 AWT&T同意了，但同時告訴美聯社你們恐怕不是獨家，這次帆船賽「出版商新聞協會」（Publishers’ Press Association）也要做實況報導，而為他們提供無線電報系統的，正是曾被馬可尼與你們先後拒絕的德佛瑞斯特（Lee de Forest）。 進擊的科學家 德佛瑞斯特畢業於耶魯大學，上了研究所後，曾做電學實驗而搞到整棟大樓跳電，被警告後卻又再犯，於是被勒令休學。當時正值美國與西班牙戰爭，他便自願從軍，但戰爭很快於當年年底結束，他又重回耶魯念物理研究所，只花了一年時間，便於1899年拿到博士學位，論文題目是〈平行導線末端的赫茲波反射〉。 這年三月，馬可尼成功讓無線電報越過英吉利海峽，造成轟動；九月又在美洲盃國際帆船賽證明在船上也可使用，引發美國媒體熱烈報導。對無線電報前景極度期待的德佛瑞斯特一取到博士學位，便向馬可尼毛遂自薦，不料卻遭拒絕。在此同時，AT&T旗下的西方電氣願意提供一份研究工作，他便前往芝加哥任職。 不知是否遭馬可尼拒絕一事反而增強了他的動力，德佛瑞斯特積極研發新型的無線電報接收器。馬可尼所用的是金屬屑檢波器（coherer），當接收到無線電波時，感應電流會使裡面的鐵屑聚集在一起，電流通過後啟動繼電器，在紙帶上留下代表摩斯電碼的長短符號。不過每收到一次訊號，就要再將鐵屑拍散才能接收下個訊號，既不方便又沒效率。 德佛瑞斯特從反射鏡電流計得到靈感，將它與電話聽筒、電池結合在一起，使得感應電流的變化轉換為耳機中的聲響，便能輕易得知摩斯電碼，也不用每次重設。 在成品完成之前，他跳槽到美國無線電報公司（AWT，和AT&T與AWT&T都無關的另一家公司），晚上到伊利諾理工學院兼課教書。恰好學校裡的弗里曼教授（Clarence Freeman）對無線電報也極有興趣，兩人一拍即合，德佛瑞斯特繼續打造接收器的同時，他則著手設計電波發射器。 無線電大亂鬥 無線電報收發設備於1901年完成後，德佛瑞斯特立刻和美聯社接洽，表示自己的裝置優於馬可尼公司，希望美聯社改與他們合作。但馬可尼已做過多次公開演示，他們卻連一次都沒有，美聯社怎可能答應。遭到拒絕後，一心要和馬可尼一較高下的德佛瑞斯特找上規模較小的出版商新聞協會，說服他們採用，便能比肩美聯社，也在國際帆船賽中做實況報導。 當時還沒有調幅或調頻的技術，收報器對無線電波來者不拒，各家的訊號若混雜在一起，根本無法判讀，每個人都是輸家。這道理大家都懂，於是在國際帆船賽的前一天，美聯社和AWT&T達成協議後，也和出版商新聞協會取得共識，在帆船競賽過程中，雙方輪流使用無線電五分鐘，以免互相干擾。 不料第二天比賽開始後，不知是誰先不遵守協議，結果變成三家大亂鬥，無線電波此起彼落，接收站收到的都是無法判讀的亂碼，最後只能靠望遠鏡和旗語勉強報導賽況。 只帶走三極管 遭遇挫敗的德佛瑞斯特仍不死心，決定不回芝加哥，而是留在紐約尋求投資人。他很快在1902年1月認識在華爾街打滾的懷特（Abraham White），懷特建議他與其找大金主，不如直接向大眾募資，這樣公司才是自己的，不受他人左右，事業成功也能享有最大回報。德佛瑞斯特對此提議非常心動，這一年就和懷特共同成立「德佛瑞斯特無線電報公司」，由懷特擔任總經理，自己專心於技術研發。 公司成立沒多久，他們就取得陸軍在紐約總督島的無線電報標案，並在隔年三月順利完成驗收。沒想到就在業務蒸蒸日上之際，公司卻突然於1906年遭逢重大危機，法院判決德佛瑞斯特的接收器侵犯他人專利，不得繼續使用。 這個判決嚴重影響公司營運，德佛瑞斯特責無旁貸。孰料懷特竟趁機逼他下台，並在董事會運作將他開除，還得出清所持的所有股份。 德佛瑞斯特創業五年僅換回賣股所得的一千美元（相當於現在35,000美元），但他並未因此灰心喪志，反而立即再度創業，因為他手上還有一項極具潛力的新發明——三極真空管。這是他11月離職前一個月發明的，照理說應該歸公司所有，不屬於他。董事會之所以同意讓他帶走，倒不是當作對他的補償，而只是不想再捲入另一宗專利糾紛。 真空管是由馬可尼電報公司的弗萊明（John A. Fleming）率先發明，並在1904年提出專利申請。他發明的是只有開關與整流功能的二極管，而德佛瑞斯特發明的則是三極管。這是在二極管的負極和正極之間加上金屬網做為柵極，將無線電波產生的感應電流接到柵極，便會有放大訊號的效果。 儘管德佛瑞斯特堅稱自己獨立發明出三極管，並未參考弗萊明的二極管，但在旁人看來還是嫌疑重大。董事會不想又一次因侵權而吃上官司，才寧可放棄專利權。德佛瑞斯特自認清白，又沒什麼好損失的，很快於1907年1月提出三極管的專利申請，並於隔年獲得核可。 無線電電話 德佛瑞斯特發明三極管的初衷，不僅是為了接收無線電報，還要用來接收無線電電話，這也是為什麼他特地將三極管命名為有聲音涵義的「Audion」。而從他再度創立的新公司叫做「無線電電話公司」（Radio Telephone Company），更可看出他的雄心。 用無線電波傳遞聲音的調幅技術，最早是由加拿大發明家范信達（Reginald Fessenden）於1900年提出，不過他直到1906年開發出可產生正弦波的高速交流發電機，才成功將音頻搭載於無線電波上，並於當年聖誕夜進行史上首次的公開廣播。德佛瑞斯特則另行改良電弧發射器，也於1906年底成功用無線電波傳遞聲音。 第二年七月，德佛瑞斯特首度完成從船上到岸上的廣播，算是彌補當年美洲盃國際帆船賽轉播挫敗的遺憾，也證明自己有能力超越馬可尼。這次演示雖然讓海軍訂購了26套系統，但安裝之後卻屢屢失常而遭退貨。此外，公司自行建置無線電電話站，服務沿海船舶的業務也一直達不到損益兩平，最後終於在1911年宣告破產。 具有放大訊號功能的三極管不是革命性的發明嗎？就算公司本身的業務失利，為什麼不能將三極管賣給其它電話或電報公司？ 這是因為當時仍不清楚訊號放大的原理，德佛瑞斯特在測試時，發現三極管內的真空程度更高時，反而無法運作，因此誤以為須靠氣體離子的作用，而讓真空管內留有些許氣體。結果第一代的三極管效能很不穩定，因此不被外界看好。 脫胎換骨 …
真空管問世120週年
真空管？現在除了所謂「發燒級」音響，日常生活中幾乎看不見真空管了吧。沒錯，現今的電子產品幾乎已全面改用電晶體，不過在電晶體出現之前，收音機、電視、雷達、……等電子產品就已紛紛問世，這都是拜真空管發明之賜。 真空管開啟了電子化的時代，若要標誌一個起點，或許是1904年11月16日。這一天，英國物理學家弗萊明（John A. Fleming）正式申請真空管的發明專利。 弗萊明攝於1906年。圖片來源：Wikipedia 弗萊明於1849年11月29日出生，學業成績自小就一直名列前茅，還曾自己動手打造模型船、引擎與相機。但他念完大學後，由於家裡的經濟狀況不允許，只能階段性地半工半讀，直到31歲才取得博士學位。 弗萊明教了兩年書後，自1882年開始兼職擔任愛迪生英國分公司的顧問。1884年，他回母校創立英國第一個電機系；為了幫助學生記住電流方向、磁場方向、導體的運動方向三者之間的關係，他特別提出「左手法則」與「右手法則」，流傳至今。 弗萊明右手定則。圖片來源：Wikipedia 1898年，馬可尼委託弗萊明協助克服無線電的瓶頸。馬可尼雖然已經展示了無線電電報的可行性，卻始終無法傳到更遠的距離。弗萊明設計出結合高功率交流發電機的發射器，讓馬可尼於1901年底，成功從英國傳送無線電到美國，創下越洋無線電報的里程碑。 不過無線電信號在這麼遠的距離卻很不穩定，仍無法商業化。弗萊明在思考如何解決時，想起愛迪生曾在1883年發現的「愛迪生效應」。當時愛迪生為了查明燈泡的燈絲為什麼老是在正極端燒斷，而在燈泡中多加一片獨立的金屬片，然後在金屬片與電源正極間接上電流計。沒想到點亮燈泡後，電流計的指針竟會移動，問題是金屬片與燈絲根本沒有接觸，電流從何而來？ 愛迪生那時無法理解，也未再深究；這也難怪，畢竟要到1897年，湯姆森才發現電子。如今弗萊明已經知道是熾熱的燈絲使得電子游離，「跳躍」到正極的金屬片，才產生電流。 於是他根據此一原理，提高燈泡的真空程度，用金屬片包圍住燈絲，並施予金屬片較高的正極電壓。然後將這個真空管接上接收無線的天線，無線電波所產生的感應電流只會流向同一方向，達到整流的效果，便能用高頻無線電波將電報傳送到更遠的距離。（註） 二極真空管示意圖。圖片來源：Wikipedia 弗萊明所發明的真空管是二極管。1906年，美國工程師德佛瑞斯特（Lee De Forest）在二極管的燈絲與金屬片之間多加一個網狀的柵極，接上負電壓，就可調整電流的大小，成為可放大訊號的三極管。自此，真空管便成為電子產品的基本元件，除了前述的電子產品，也讓電腦得以邁入數位化；史上第一台可程式化的通用型電腦ENIAC 便用了一萬七千多個真空管。 雖然真空管因為耗電、易壞，反應速度又慢，而逐漸被電晶體取代，不過它揭開了數位時代的序幕，也算是功成身退，值得紀念。 註：不過真空管本身的物理限制還是不適用更高頻的電波，AT&T旗下的貝爾實驗室因此才改從半導體著手，進而發明電晶體。這段歷史可參考筆者所著之《蕭克利與八叛徒》。 參考資料： John Ambrose Fleming – Wikipedia John Fleming – ETHW
從質數到二進位計算機——萊布尼茲的創見
1676年底，三十而立的萊布尼茲離開待了四年的巴黎，返回德國。在巴黎期間，他已構思出微積分此一全新的數學方法，卻沒有公開對外發表，回國後他仍將之暫擱一旁，反而研究起質數來了。 他先在1678年2月發表一篇論文，指出任何大於5的質數減去1或5，一定能被6整除（這也可以表述成「任何大於3的質數都可以寫成6k ± 1」的形式）。隨後他又試圖證明費馬小定理，這是費馬於1640年提出的猜想： 若p為質數，a是小於p的正整數，則 aᴾ⁻¹- 1一定能被p整除。 （例如 p=7, a=2，則2⁷⁻¹ – 1 = 63 是 7 的倍數。） 倘若這真的成立，便能用來判斷一個數有沒有可能是質數。當萊布尼茲從a=2開始，也就是2ⁿ– 1這種所謂的梅森數（Mersenne number）研究起時，他注意到若是用二進位表示，梅森數依序便是1、11、111、1111、……，完全不用像十進位制那樣計算，就能直接寫出來。 接著他發現二進位也很適合用於表示完美數（perfect number）。如果一個數的真因數加總起來恰好等於它本身，例如6 = 1 + 2 + 3 或 28 = 1 +2 + 4 + 7 + 14，便稱為完美數。而歐幾里得早就證明： 若2ⁿ– 1是質數（後來稱為梅森質數），則2ⁿ⁻¹ x (2ⁿ – 1) 一定是完美數。 改用二進位的話，就可以說： 若11是質數，則110是完美數； 若111是質數，則11100是完美數； 若1111是質數，則1111000是完美數； ……以此類推。 說實話，萊布尼茲並非第一個試過用二進位表示數字的人，不過他卻是第一位看出二進位制的優越性，進而有系統地建構二進位算術的人。他在1679年3月所寫〈關於二進位制〉（On the Binary Progression）的手稿中，詳述如何將十進位的數字不斷地除以2，每一步驟的餘數0或1組合起來便是二進位制的數字，此外，他還寫出二進位制的加減乘除法則。 …
發現系外行星
浩瀚宇宙中，地球是唯一具有生命的星球嗎？光銀河系內就有一千億到四千億顆恆星，環繞它們的行星中，難道沒有其它生物、甚至不亞於人類的高度文明嗎？要尋找外星生命，得先找到環境條件適合生命發展的行星。 問題是，行星本身不會發光，即使反射來自恆星的光，若非距離地球過於遙遠而無法看見，就是被恆星本身的光芒遮蔽。我們要如何發現太陽系以外的行星？ 徑向速度法 長久以來，天文學家普遍相信我們不可能發現系外行星，不過1995年11月的《自然》期刊上，卻刊登了瑞士日內瓦大學的梅爾（Michel Mayor）與奎洛茲（Didier Queloz）的論文，宣稱他們在50光年外的「飛馬座51」恆星發現一顆行星，並指出其軌道半徑與質量。 他們是怎麼做到的？ 原來行星環繞恆星公轉時，兩者之間的重力作用會使恆星輕微擺動，恆星的徑向速度（接近或遠離地球的速度）也因而有所改變，以致光譜譜綫分別會有藍移和紅移效應，而且是週期性的變化。梅爾和奎洛茲便是藉此得知飛馬座51有顆行星，並推算出該行星的質量大小與軌道半徑，他們兩人也因此獲頒2019年的諾貝爾物理學獎。 不過這個方法無法讓我們對行星有更多瞭解，例如它是像地球這樣有岩石的類地行星嗎？是否有大氣層？大氣組成是什麼？溫度多高？這些都有助於尋找有生命可能的行星。 凌日法 1980年代，任職於NASA的博如基（William Borucki）提出尋找系外行星的另一種方法：凌日法。當系外行星橫過恆星朝著地球這一面時，會擋住一小部分恆星射向地球的光，根據觀測到的亮度減少程度，便能推算該行星的大小。再配合徑向速度法獲知的質量，便可算出其密度，知道它是哪一種行星。 此外，恆星的光穿過行星的大氣層時，大氣層中的元素會各自吸收特定頻率的光，使得觀測到的光譜出現不同暗線，便可以得知行星的大氣成分。 不過凌日法不一定都能用得上，行星軌道相對於地球的觀測角度必須在一定範圍內，才能觀測得到。1999年11月5日，天文學家用徑向速度法判定，飛馬座裡距地球約150光年的恆星HD 209458有一顆行星，質量為木星0.7倍（相當於地球的220倍），並預測這顆編號為HD 209458 b的行星即將橫過恆星與地球之間。 田納西州大學的天文學家亨利（Gregory Henry）得知後隨即進行觀測，果然在11月7日與14日都觀測到HD 209458的亮度下降1.7%，因而算出行星HD 209458 b的體積是木星的2.5倍，因此是個氣態巨行星（又稱類木行星），大氣成分含有氧和碳。 在此同時，哈佛大學的博士生夏博諾（David Charbonneau）也正在撰寫論文，準備發表他在九月就已用凌日法確認了HD 209458 b的一些性質。結果他們兩人的論文同時發表在下個月的天文期刊，這是人類首度掀開系外行星的神秘面紗，同時也為凌日法揭開了序幕。 從那時至今2024年10月為止，恰好滿25年，所發現的系外行星已有5,780顆，其中最近的是4.2光年外的比鄰星b，它所環繞的比鄰星也是離我們最近的恆星。有趣的是，比鄰星b是2016年才發現，但2006年就連載的科幻小說《三體》，已經設想和半人馬座α雙星組成三星系統的比鄰星，存在三體人所居住的行星。 2021年底發射升空的詹姆斯·韋伯太空望遠鏡，主要用途之一就是研究系外行星的大氣層，藉此發現與地球相似的「超級地球」，因為這不但最可能有外星生命，也很可能適合人類居住，且讓我們拭目以待吧。 參考資料：
顯微鏡下，細胞現身
1664年11月3日，29歲的虎克（Robert Hooke）在英國皇家學會向台下的科學家們展示他的畫作；這可不是一般的肖像畫或風景畫，而是人類從未見過、也是肉眼無法辨識的各種微物。 出生於1635年7月18日的虎克自小體弱多病，父親在他13歲那年過世後，他便隻身來到倫敦謀生。虎克先當了一年畫家學徒，才就讀西敏公學，接著在1653年進入牛津大學。兩年後波以耳（Robert Boyle）前往牛津設立實驗室，表現優異的虎克在師長的介紹下，擔任波以耳的助手，協助製作實驗器材；其中他所改良的真空幫浦，讓波以耳得以完成氣體實驗，提出波以耳定律。 雖然名義上是波以耳助手，其實虎克自己就能獨立進行實驗，他於1660年從彈簧實驗發現虎克定律，並早於惠更斯發明鐘錶的擒縱輪與螺旋平衡彈簧。1662年，英國皇家學會獲得英王正式認可後，立即聘請虎克擔任實驗審查的負責人。 儘管這是個勞心勞力的無給職，他仍在工作之餘打造儀器設備、埋首實驗。如今他要在皇家學會發表的畫作，便是他自1663年開始，用親手發明的顯微鏡進行觀察，一筆一畫精細地繪出顯微鏡下的世界：包括跳蚤、蝨子的纖毛畢露、蒼蠅的複眼結構清晰可辨。 另外軟木薄片呈現一堆整齊排列的密集網格，虎克將這小格子稱為「細胞」（cell, 取自拉丁文cella，小房間之意），自此成為生物細胞的名稱。他於1665年出版《微物圖鑑》，集結這些顯微圖像，打開世人的眼界。 或許是因為長期負責實驗審查，一直接觸到各種新發明或新觀念，因而啟發虎克想到許多點子，他就當成是自己的創見，以至於常常指別人的主張或發明，他老早就想過了。牛頓於1672年第一次到皇家學會展示所發明的反射式望遠鏡，虎克就宣稱他以前就曾發明過同樣的東西，兩人因此結下樑子。後來牛頓提交光學論文給英國皇家學會，又被負責審查的虎克大肆批評，從此兩人不但成為死對頭，牛頓也拒絕再發表他的光學研究，直到虎克過世後，才終於出版《光學》巨著，光學發展因此晚了三十年。 虎克一生未娶，晚年因糖尿病不良於行，還雙眼失明，最後於1703年病逝。牛頓也於這一年接任皇家學會會長，他上任後命令取下虎克的肖像。孤家寡人的虎克也未留下任何畫像，至今我們仍不知這位身材矮小的大發明家，究竟長相如何。 按：關於「細胞」一詞，葉綠舒根據德國的彼得斯博士（Winfried S. Peters）的發現指出：「虎克的著作中完全沒有提到修道士或修道院，也沒有使用「cellula」這個拉丁詞彙。事實上，他一開始就用了「cell」這個詞（p.248, 249）」。詳見參考資料之連結。 參考資料：
每個孤獨的梅森質數，都伴隨一個完美的數
質數是孤獨的，它的因數就只有1和它自己，不像6還有2和3，15還有3和5，但質數卻再也沒有其它因數，就像一個沒有任何朋友的小孩，只能抱著1這個布娃娃，自己玩耍。 2p-1這種形式的梅森質數當然也是如此。不過，如果把-1挪個位置，移到指數p的後面，再和自己相乘的話，奇蹟就出現了：2p-1 x (2p-1) 會是個完美的數字（perfect number）。 什麼是完美數（也譯為完全數或完備數）？這是種很特別的自然數，它所有的真因數（即除了自身以外的因數）加起來，恰恰等於它本身。例如6的真因數有1、2、3，而1 + 2 + 3 = 6。 完美數很稀少，比日本壓縮機，比質數還稀少。第二個完美數是28（= 1 + 2 + 4 + 7 + 14），下一個是496，再來是8128，第五個就跳到8位數，到了第十個已經有54位數了。 早在西元前三百年左右，歐幾里得就證明當2p-1是質數時，2p-1 x (2p-1) 一定是完美數，例如前四個梅森質數便分別對應到前四個完美數： P = 2 ➡︎ 21(22-1) = 2 x 3 = 6 P = 3 ➡︎ 22(23-1) = 4 x 7 = 28 P = 5 ➡︎ 24(25-1) = …
不發一語卻滿堂喝采的數學演講
上一篇〈追尋更大的質數〉提到法國神父梅森在1644年提出一系列質數，認為將它們代入Mₚ = 2ᵖ-1，所得出的答案也是質數，結果其中有些數字他搞錯了，例如1876年法國數學家盧卡斯便證明了M₆₇不是質數。 既然M₆₇是合數，那麼它的因數是什麼？盧卡斯並沒有找出來，畢竟要靠紙筆做21位數的因數分解實在太耗費時間了。 1903年10月31日，美國數學學會舉辦的研討會中，有一場是由42歲的美國數學家寇爾（Frank N. Cole）主講。寇爾20年前曾赴德國，接受著名的數學家克萊茵（Felix Klein）指導，返美後先後在哈佛大學、密西根大學、哥倫比亞大學任教，自1896年起還兼任美國數學學會秘書長。 這場演講的主持人簡單說完引言，介紹寇爾上台後，只見他走到黑板的一邊，什麼都沒說就拿起粉筆，逐步計算2⁶⁷-1的值，最後得出： 147 573 952 589 676 412 927 接著他走到黑板另一邊，寫上： 193 707 721 x 761 838 257 287 = 然後算起這兩個數字的相乘，結果等於： 147 573 952 589 676 412 927 正是黑板左邊的數字。 寇爾寫完後仍一句話都沒說，放下粉筆就回到自己的座位。台下聽眾隨即爆出熱烈掌聲，並紛紛起立致意，因為他們終於目睹了M₆₇的因數，而這成果背後不知要投入多少心血。 的確，後來寇爾表示共花了他三年的每個星期天。而這場史無前例、全程近一小時完全不發一語的「演講」，也成為數學史上的一個傳奇。 參考資料：