沒想到我在〈2023年十大科學新聞〉介紹的「愛因斯坦地磚」，竟然吸引那麼多人的關注。不過由於還有其它幾則科學新聞要同時並列，所以我只做了概要的介紹，有些重要關鍵就略而不提。這裡我就進一步補充說明，讓有興趣的人可以知道大概的來龍去脈。
今年64歲的史密斯是在2022年11月發現後來暱稱為「帽子」的13邊形，它看起來奇形怪狀，但其實是由8個一模一樣的箏形所組成，而這箏形是將一個正六邊形均分成六等份而來（如下圖）。
史密斯印了一堆「帽子」出來，在桌上一個個拼接起來，拚了很久，發現都沒有出現重複的圖案，不禁猜想莫非真的被他找到了愛因斯坦地磚？不過自己這樣土法煉鋼也不是辦法，誰知道範圍更大後會不會開始出現某種規律？
圖片來源：Quantum Magazine
加拿大滑鐵盧大學的卡普蘭教授（Craig Kaplan）是密鋪（Tessellation，也就是用幾個幾何圖形不留縫隙地鋪滿整個平面）的專家，他還自己寫了密鋪的電腦程式。於是史密斯寫email給卡普蘭，請他幫忙驗證帽子是不是愛因斯坦地磚？
卡普蘭用電腦跑了半天也都沒看到週期性，不過就算讓電腦跑一萬年，也無法就此證明這就是愛因斯坦地磚，必須從數學上加以證明才行。卡普蘭在2023年1月找了兩名對密鋪也有研究的幫手，一位是專精凸幾何的史特勞斯（Chaim Goodman-Strauss）教授，另一位是兼具組合數學與軟體開發專長的邁爾斯（Joseph Myers）博士。
2月時，他們已經找到方法證明帽子的確可以鋪滿平面而不具週期性，就在卡普蘭著手寫成論文時，邁爾斯又有了新發現。
原來去年12月史密斯曾email另一個像是烏龜的13邊形給卡普蘭，問他這個會不會也是愛因斯坦地磚？「烏龜」也是用箏形組成，不過比帽子多了兩片（如下圖）。卡普蘭心想帽子都還沒搞定，哪有閒工夫再研究另一個烏龜，何況有可能半世紀來數學家都找不到的愛因斯坦地磚，一個業餘玩家在兩個禮拜內就發現兩個嗎？便將它暫擱一旁。
如今帽子的證明搞定了，卡普蘭繼續忙著寫論文，得空的邁爾斯覺得不妨檢視一下烏龜，結果他從兩者的共通性發現另一種方法，可以證明帽子和烏龜都是愛因斯坦地磚。這不但強化了他們預備發表的論文，而且第二種證明方法未來也可用來檢驗其它幾何形狀。
他們四人的論文發表後立刻轟動學界，不過熱烈迴響之中卻也伴隨著一項質疑。帽子和烏龜固然能沒有規律地密鋪整個平面，卻需摻雜著一些反面，也就是本身的鏡像（如下圖）。雖然在數學上，鏡射和平移、旋轉一樣，都被視為並未改變幾何形狀，因此帽子和烏龜的確算是愛因斯坦地磚，但還是有許多人提出質疑，認為應該不能用到鏡像才算數。
圖片來源：Wikipedia
這時史密斯又想出另一個形狀，看起來像是烏龜和帽子的混合體，也是13邊形，不過這次的組成不是箏形（如下圖）。這個形狀也可以做為愛因斯坦地磚，更讚的是完全不需要用到反面。
圖片來源：David Smith’s blog
只不過有個問題，如果搭配反面，反而可以排出規律的圖案（如下圖）。然而若按嚴格定義，愛因斯坦地磚只能有非週期性的排法，不允許還有規律的排法。
他們四人再次合作，很快地將找出方法，將直線的邊修改為曲線，如此便無法用正反面排出規律圖案，但仍能非週期性地密鋪整個平面（如頁首）。他們於五月發表論文，這個暱稱為「幽靈」(spectres) 的愛因斯坦地磚終於不會有人質疑了。
參考資料：
